Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Существует уравнение касательной к прямой в х = -1 функции \(y = \frac{x^2}{(x + 2)^2}\). Найдите уравнение касательной.
Ответ:
Краткое пояснение:
Метод: Для нахождения уравнения касательной к графику функции в заданной точке нужно вычислить значение функции и значение её производной в этой точке. Уравнение касательной находится по формуле: \( y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \), где \( (x_0, y_0) \) — точка касания, а \( f'(x_0) \) — значение производной в этой точке.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Находим значение функции \( y \) в точке \( x_0 = -1 \).
\( y(-1) = \frac{(-1)^2}{(-1 + 2)^2} = \frac{1}{1^2} = 1 \). Таким образом, точка касания имеет координаты \( (-1, 1) \). - Шаг 2: Находим производную функции \( y' \). Используем правило дифференцирования частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \), где \( u = x^2 \) и \( v = (x + 2)^2 \).
\( u' = 2x \)
\( v' = 2(x + 2) · 1 = 2(x + 2) \)
\( y' = \frac{2x(x + 2)^2 - x^2 · 2(x + 2)}{((x + 2)^2)^2} = \frac{2(x + 2)[x(x + 2) - x^2]}{(x + 2)^4} = \frac{2[x^2 + 2x - x^2]}{(x + 2)^3} = \frac{4x}{(x + 2)^3} \). - Шаг 3: Находим значение производной в точке \( x_0 = -1 \).
\( y'(-1) = \frac{4(-1)}{(-1 + 2)^3} = \frac{-4}{1^3} = -4 \). - Шаг 4: Записываем уравнение касательной, используя найденные значения \( x_0 = -1 \), \( y_0 = 1 \) и \( f'(x_0) = -4 \).
\( y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \)
\( y - 1 = -4(x - (-1)) \)
\( y - 1 = -4(x + 1) \)
\( y - 1 = -4x - 4 \)
\( y = -4x - 3 \).
Ответ: \( y = -4x - 3 \)
