Существуют ли среди точек A, B, C и D точки, координаты которых — простые числа (рис. 2.1), если p — простое число?

По рисунку координаты точек связаны так: от A до точки с координатой p прибавляют 1, от B до этой точки прибавляют −1; далее от точки p до C и от C до D прибавляют p. Поэтому координаты A, B, C и D равны соответственно p − 1, p + 1, 2p и 3p.

Координаты C = 2p и D = 3p составные: каждая представлена произведением двух натуральных чисел, больших 1.

Если p = 2, то A = 1, B = 3, поэтому координата B простая. Если p = 3, то A = 2, B = 4, поэтому координата A простая.

Для любого простого p > 3 число p нечётное, значит, p − 1 и p + 1 — чётные числа, большие 2, и потому составные.

Ответ: да, если p = 2 или p = 3: при p = 2 простую координату имеет B, при p = 3 — A. При p > 3 таких точек нет.