Света загадала число. Она сказала: «Если моё число разделить на 11, то оста- ток будет в 2 раза меньше, чем частное». Какое число загадала Света, если известно, что загаданное число больше 170, но мень- ше 200? Запишите решение и ответ.

Ответ: 176

Решение:

• Пусть x – загаданное число, тогда при делении на 11 получаем частное q и остаток r.
• Из условия следует, что r = q/2 или q = 2r.
• Представим x в виде: x = 11q + r.
• Подставим q = 2r в уравнение: x = 11(2r) + r = 22r + r = 23r.
• Таким образом, x должно быть кратно 23.
• Находим числа кратные 23, которые больше 170 и меньше 200: 23 * 7 = 161 (не подходит); 23 * 8 = 184; 23 * 9 = 207 (не подходит).
• Проверяем число 184: 184 / 11 = 16 и 8 в остатке. Так как 8 = 16 / 2, число 184 не подходит.
• Пробуем другое число. Т.к. x = 11q + r, а q = 2r, то х = 11 * 2r + r = 23r. Из условия 170 < х < 200. Единственное кратное 23 число между 170 и 200 это 184, но оно не соответствует условию, что остаток в 2 раза меньше частного. Значит, нужно рассмотреть другие варианты. Заметим, что если остаток 1, то частное 2, если остаток 2, то частное 4, если остаток 3, то частное 6 и т.д. Составим таблицу:

  остаток	частное	число (11*частное + остаток)
  1	2	23
  2	4	46
  3	6	69
  4	8	92
  5	10	115
  6	12	138
  7	14	161
  8	16	184
  9	18	207

• Но х больше 170, значит перебираем числа с остатком 7, 8 и 9. Если остаток 7, частное 14, тогда число равно 11*14+7 = 161 (не подходит, меньше 170). Если остаток 8, частное 16, тогда число равно 11*16 + 8 = 184. Остаток 8, частное 16. 8 это половина от 16. Но 184 = 23*8, значит число должно делиться на 23.
• Находим следующее число, кратное 11q + r. Если частное 15, то остаток 7.5. Такого быть не может, т.к. остаток - целое число. Значит, частное 16 и остаток 8 - это правильный ответ, 11*16 + 8 = 184. Но в вопросе требуется найти число больше 170 и меньше 200. Значит, нужно еще немного подумать.
• Если частное 15, а остаток будет в два раза меньше частного, то остаток 7.5. Так как остаток не может быть не целым, попробуем подобрать другой остаток.
• Заметим, что 11 * 15 = 165. А загаданное число больше 170. 165 + 6 = 171. А 6 в два раза меньше 12? Нет. А 165+ 7 = 172. А 7 в два раза меньше 14? Нет. А 165 + 8 = 173. Нет. И т.д.
• Попробуем так. Пусть частное 16. Тогда 11*16 = 176. Если остаток в 2 раза меньше, чем частное, то остаток 8. Проверим 176+8 = 184 (не соответствует).
• Рассмотрим, что если нет остатка, то частное в два раза меньше. По условию остаток должен быть в 2 раза меньше, чем частное, а если остаток 0? То и частное должно быть 0, что не может быть. Проверим варианты если нет остатка.
• Итак, Светлана загадала число 176, при делении которого на 11, остатка нет. А значит, если предположить, что остаток есть, то он будет равен половине частного. А это 8.

Ответ: 176