19 Свойства прямоугольного треугольника Задача 1. Докажите, что катет, лежащий против угла, величина которого равна 30°, равен половине гипотенузы. Решение. Рассмотрим треугольник АВС, в котором ∠ACB = 90°, 1 ВАС = 30°. Надо доказать, что ВС = АВ. 2 На луче ВС отложим отрезок CD, равный отрезку ВС (рис. 19.1). Проведём отрезок AD. Тогда в треугольниках АВС и ADC имеем: LACB = ∠ACD = 90°, стороны ВС и CD равны по построению, отрезок АС — общая сторона этих треугольников. Следовательно, эти треугольни- ки равны по двум катетам. Тогда ∠DAC = 30°, отсюда ∠BAD = 2ZDAC = 60°. Имеем: LABD = 90° -30° = 60°. Тогда ∠ADB = 60° и треугольник ABD - 1 носторонний. Значит, ВС = BD= АВ. 2

Задача 1. Докажите, что катет, лежащий против угла, величина которого равна 30°, равен половине гипотенузы.

Решение. Рассмотрим треугольник ABC, в котором ∠ACB = 90°, ∠BAC = 30°. Надо доказать, что $$BC = \frac{1}{2}AB$$.

На луче BC отложим отрезок CD, равный отрезку BC (рис. 19.1). Проведём отрезок AD.

Тогда в треугольниках ABC и ADC имеем:

• ∠ACB = ∠ACD = 90°, стороны BC и CD равны по построению, отрезок AC — общая сторона этих треугольников.
• Следовательно, эти треугольники равны по двум катетам.
• Тогда ∠DAC = 30°, отсюда ∠BAD = 2∠DAC = 60°.
• Имеем: ∠ABD = 90° - 30° = 60°.
• Тогда ∠ADB = 60° и треугольник ABD - равносторонний.
• Значит, $$BC = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} AB$$.

Ответ: доказано, что катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.