§ 7. СВОЙСТВА РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА 7.1. 1) На рисунке 39 АВ = ВС. Докажите, что ∠1 = ∠2. 2) BD является высотой равнобедренного треугольника ABC (AB = BC), ∠ABD = 17°, AD = 9 см. Найдите углы DBC, АВС и основание АС. 7.2. 1) На рисунке 40 АВ = ВС. Докажите, что ∠1 = ∠2. 2) BD является биссектрисой равнобедренного треуголь- ника АВС (ABBC); АС = 18 см, ∠DBC = 21°. Найдите углы ABD, ADB и длину отрезка AD. 7.3. 1) На рисунке 41 равнобедренный треугольник АВС и рав- нобедренный треугольник ADC имеют общее основание. До- кажите, что ∠BAD = ∠BCD. 2) На медиане СМ равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ взята точка О. Докажите, что треуголь- ник АОВ равнобедренный. 7.4. 1) На рисунке 42 равнобедренные треугольники АВС и ADC имеют общее основание АС. Докажите, что ∠BAD = ∠BCD. 2) На высоте АН равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС взята точка М. Докажите, что треуголь- ник ВМС равнобедренный. 7.5. 1) На рисунке 43 ДАВС равнобедренный с основанием АС, L - середина АС, АМ СК. Докажите, что ML = LK. 2) Равнобедренные треугольники АВС и DBC имеют общее основание ВС. Вершины А и В находятся по разные сто- роны от ВС. Отрезки AD и ВС пересекаются в точке О. Докажите, что AD 1 ВС. 7.6. 1) На рисунке 44 изображен равнобедренный треугольник с основанием РТ, СО высота треугольника, РВ = ТА. До- кажите, что ДРВО = ∠OAT. 2) Равнобедренные треугольники АВС и ABD имеют общее основание АВ. Вершины С и Д находятся по разные сторо- ны от АВ. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке М. Дока- жите, что M середина АВ.

7.1. 1) Дано: AB = BC (рис. 39). Доказать: ∠1 = ∠2.

Доказательство:

• Т.к. AB = BC, то ΔABC - равнобедренный с основанием AC.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, ∠1 = ∠2.

2) Дано: BD - высота ΔABC, AB = BC, ∠ABD = 17°, AD = 9 см.

Найти: ∠DBC, ∠ABC, AC.

Решение:

• Т.к. BD - высота, то ΔABD и ΔCBD - прямоугольные.
• В равнобедренном треугольнике высота является и биссектрисой, значит ∠DBC = ∠ABD = 17°.
• ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 17° + 17° = 34°.
• ΔABD = ΔCBD (по катету и острому углу), значит AD = CD = 9 см.
• AC = AD + CD = 9 + 9 = 18 см.

Ответ: ∠DBC = 17°, ∠ABC = 34°, AC = 18 см.

7.2. 1) Дано: AB = BC (рис. 40). Доказать: ∠1 = ∠2.

Доказательство:

• Т.к. AB = BC, то ΔABC - равнобедренный с основанием AC.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, ∠1 = ∠2.

2) Дано: BD - биссектриса ΔABC, AB = BC, AC = 18 см, ∠DBC = 21°.

Найти: ∠ABD, ∠ADB, AD.

Решение:

• Т.к. BD - биссектриса, то ∠ABD = ∠DBC = 21°.
• ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 21° + 21° = 42°.
• ∠BAC = ∠BCA = (180° - ∠ABC) / 2 = (180° - 42°) / 2 = 69°.
• ∠ADB = 180° - ∠ABD - ∠BAC = 180° - 21° - 69° = 90°.
• Т.к. ∠ADB = 90°, то BD - высота, а в равнобедренном треугольнике высота является и медианой, значит AD = AC / 2 = 18 / 2 = 9 см.

Ответ: ∠ABD = 21°, ∠ADB = 90°, AD = 9 см.

7.3. 1) Дано: ΔABC и ΔADC - равнобедренные с общим основанием AC (рис. 41).

Доказать: ∠BAD = ∠BCD.

Доказательство:

• В ΔABC: ∠BAC = ∠BCA (углы при основании AC).
• В ΔADC: ∠DAC = ∠DCA (углы при основании AC).
• ∠BAD = ∠BAC + ∠DAC.
• ∠BCD = ∠BCA + ∠DCA.
• Т.к. ∠BAC = ∠BCA и ∠DAC = ∠DCA, то ∠BAD = ∠BCD.

2) Дано: CM - медиана ΔABC, AB - основание, O ∈ CM, ΔABC - равнобедренный.

Доказать: ΔAOB - равнобедренный.

Доказательство:

• В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является и высотой, и биссектрисой.
• Следовательно, ∠ACO = ∠BCO и CO ⊥ AB.
• ΔACO = ΔBCO (по двум сторонам и углу между ними).
• AO = BO, следовательно, ΔAOB - равнобедренный.

7.4. 1) Дано: ΔABC и ΔADC - равнобедренные с общим основанием AC (рис. 42).

Доказать: ∠BAD = ∠BCD.

Доказательство:

• В ΔABC: ∠BAC = ∠BCA (углы при основании AC).
• В ΔADC: ∠DAC = ∠DCA (углы при основании AC).
• ∠BAD = ∠BAC + ∠DAC.
• ∠BCD = ∠BCA + ∠DCA.
• Т.к. ∠BAC = ∠BCA и ∠DAC = ∠DCA, то ∠BAD = ∠BCD.

2) Дано: AH - высота ΔABC, BC - основание, M ∈ AH, ΔABC - равнобедренный.

Доказать: ΔBMC - равнобедренный.

Доказательство:

• В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и медианой, и биссектрисой.
• Следовательно, BH = CH и ∠BAH = ∠CAH.
• ΔABH = ΔACH (по двум сторонам и углу между ними).
• BM = CM, следовательно, ΔBMC - равнобедренный.

7.5. 1) Дано: ΔABC - равнобедренный, AC - основание (рис. 43), L - середина AC, AM = CK.

Доказать: ML = LK.

Доказательство:

• Т.к. L - середина AC, то AL = LC.
• ML = AL - AM.
• LK = CK - LC.
• Т.к. AM = CK и AL = LC, то ML = LK.

2) Дано: ΔABC и ΔDBC - равнобедренные с общим основанием BC, вершины A и D находятся по разные стороны от BC, AD и BC пересекаются в точке O.

Доказать: AD ⊥ BC.

Доказательство:

• Т.к. ΔABC - равнобедренный, то AO - медиана и высота (в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является и высотой).
• Т.к. ΔDBC - равнобедренный, то DO - медиана и высота (в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является и высотой).
• Т.к. AO и DO лежат на одной прямой (AD), то AD ⊥ BC.

7.6. 1) Дано: ΔРТ - равнобедренный с основанием РТ, СО - высота, PB = TA (рис. 44).

Доказать: ∠PBO = ∠OAT.

Доказательство:

• Т.к. ΔРТ - равнобедренный, то ∠P = ∠T.
• Т.к. CO - высота, то ΔPBO и ΔOAT - прямоугольные.
• PB = TA (по условию).
• ΔPBO = ΔOAT (по гипотенузе и острому углу).
• ∠PBO = ∠OAT.

2) Дано: ΔABC и ΔABD - равнобедренные с общим основанием AB, вершины C и D находятся по разные стороны от AB, отрезки AB и CD пересекаются в точке M.

Доказать: M - середина AB.

Доказательство:

• Т.к. ΔABC - равнобедренный, то CM - медиана и высота (в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является и высотой).
• Т.к. ΔABD - равнобедренный, то DM - медиана и высота (в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является и высотой).
• Т.к. CM и DM лежат на одной прямой (CD), то M - середина AB.

Ответ: доказано все, что требовалось доказать.