Свойства степени — I, СР-23, В-3. 1. Выполните возведение в степень: а) $(3x^5y^7)^5$; б) $(-0{,}2ac^6d)^4$. 2. Представьте выражение в виде степени: а) $(yy^7y^9)^4$; б) $((d^3)^4)^5$; в) $(k^3)^5\cdot(k^5)^0$; г) $(k^n)^6$; д) $216t^3$; е) $128$. 3. Вычислите: $\frac{35^7}{(5^2)^3\cdot7^7}$. 4. Верно ли равенство: $15^{200}+11^{200}=20^{198}$? Ответ объясните.

Question

Вопрос: $Фото задания: Свойства степени — I, СР-23, В-3. 1. Выполните возведение в степень: а) $(3x^5y^7)^5$; б) $(-0{,}2ac^6d)^4$. 2.…$ Фото задания

Accepted Answer

Возводим в степень каждый множитель, умножая его показатель на внешний показатель:
а) $(3x^5y^7)^5=3^5x^{25}y^{35}=243x^{25}y^{35}$.
б) $(-0{,}2ac^6d)^4=(-0{,}2)^4a^4c^{24}d^4=0{,}0016a^4c^{24}d^4$.
а) $(yy^7y^9)^4=(y^{1+7+9})^4=(y^{17})^4=y^{68}$.
б) $((d^3)^4)^5=d^{3\cdot4\cdot5}=d^{60}$.
в) $(k^3)^5\cdot(k^5)^0=k^{15}\cdot1=k^{15}$.
г) $(k^n)^6=k^{6n}$.
д) $216t^3=6^3t^3=(6t)^3$.
е) $128=2^7$.
$35^7=(5\cdot7)^7=5^7\cdot7^7$, а $(5^2)^3=5^6$. Тогда
$\frac{35^7}{(5^2)^3\cdot7^7}=\frac{5^7\cdot7^7}{5^6\cdot7^7}=5$.
Равенство неверно. Для положительных чисел и целого $n>1$ выполняется $(a+b)^n>a^n+b^n$. Здесь $20=15+5>15+11$ не подходит для прямого применения, но сравним иначе: $20^{198}=(20^2)^{99}=400^{99}$, тогда как $15^{200}+11^{200}<2\cdot15^{200}$. При этом $20^{198}=20^2\cdot20^{196}$, и поскольку $20^{196}>15^{200}$ (так как $(20/15)^{196}> (20/15)^4> (20/15)^4$, а для строгого сравнения проще заметить $20^{198}/15^{200}=(20/15)^{198}/15^2>(4/3)^{198}/225>2$), имеем $20^{198}>2\cdot15^{200}>15^{200}+11^{200}$. Следовательно, левая и правая части не равны.

Ответ: 3) 5. 4) Нет, $15^{200}+11^{200}<20^{198}$.