т. д. Используя эти равенства, докажите: 1 1 — • — + — • — + — • — + — • — + — • — + — • — = 2 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13 13 15 15

Пошаговое решение:

1. Заменим каждое слагаемое в сумме, используя известные равенства:
   \[\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})\]\[\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{5} - \frac{1}{7})\]\[\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{7} - \frac{1}{9})\]\[\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{11} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{9} - \frac{1}{11})\]\[\frac{1}{11} \cdot \frac{1}{13} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{11} - \frac{1}{13})\]\[\frac{1}{13} \cdot \frac{1}{15} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{13} - \frac{1}{15})\]
2. Подставим полученные выражения в исходную сумму:
   \[\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{11} + \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{13} + \frac{1}{13} \cdot \frac{1}{15} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{7} - \frac{1}{9}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{9} - \frac{1}{11}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{11} - \frac{1}{13}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{13} - \frac{1}{15})\]
3. Вынесем общий множитель \(\frac{1}{2}\) за скобки:
   \[= \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \frac{1}{11} - \frac{1}{13} + \frac{1}{13} - \frac{1}{15})\]
4. Сократим дроби:
   \[= \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{15})\]
5. Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:
   \[= \frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{15} - \frac{1}{15}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{15}\]
6. Упростим выражение:
   \[= \frac{2}{15}\]

Ответ: \(\frac{2}{15}\)