Таблица 5. Найдите стороны параллелограмма, если P = 36. 1) Параллелограмм N K L M; NK = NM. 2) Параллелограмм F T S R; FR = RS. 3) Параллелограмм L O M S; LO − LS = 1. 4) Прямоугольник A B C D; AB : BC = 2 : 3. 5) Прямоугольник Q L M N; диагональ NL — биссектриса угла QLM. 6) Параллелограмм K M L F; KM = 2KF. 7) Параллелограмм A B C D; AB : BC = 1 : 2. 8) Параллелограмм Q T M R; точка N лежит на QR, RM = 1,5 RN, а TN — биссектриса угла QTR. 9) Прямоугольник RQST; точка M лежит на RQ, RM + MQ = 10, а MS делит пополам угол QST. 10) Прямоугольник M K R E; точка F лежит на MK, угол MFE = 45°, MF − FK = 6. 11) Прямоугольник R S K L; точка M лежит на LS, LM = 2, RM ⟂ LS, угол RLM = 60°. 12) Параллелограмм A B C D; диагонали AC и BD пересекаются в E, ED = 4, AC ⟂ BD, угол CAD = 30°. Найдите стороны каждого параллелограмма.

Из периметра следует, что сумма двух соседних сторон равна 36 : 2 = 18. Так как NK = NM, обе стороны равны 18 : 2 = 9.

Ответ: NK = NM = 9.

FR = RS, а сумма соседних сторон равна 18. Поэтому FR = RS = 18 : 2 = 9.

Ответ: FR = RS = 9.

Обозначим LO = x, LS = y. Тогда x + y = 18 и x − y = 1. Складываем равенства: 2x = 19, поэтому x = 9,5; затем y = 18 − 9,5 = 8,5.

Ответ: LO = 9,5; LS = 8,5.

У прямоугольника стороны относятся как 2 : 3. Пусть AB = 2x, BC = 3x. Тогда 2(2x + 3x) = 36, откуда 10x = 36 и x = 3,6.

Ответ: AB = 7,2; BC = 10,8.

В прямоугольнике треугольник QLN прямоугольный при Q. Поскольку NL — биссектриса прямого угла QLM, угол QLN равен 45°. Значит, прямоугольный треугольник QLN равнобедренный, QL = QN. Стороны прямоугольника равны a и b; из периметра a + b = 18, а равенство QL = QN даёт a = b.

Ответ: QL = QN = LM = MN = 9.

Обозначим KF = a. Тогда KM = 2a. Соседние стороны параллелограмма составляют половину периметра: KF + KM = 18. Поэтому 3a = 18, a = 6.

Ответ: KF = 6, KM = 12.

Пусть AB = x, BC = 2x. Тогда 2(x + 2x) = 36, откуда 6x = 36 и x = 6.

Ответ: AB = 6, BC = 12.

Пусть QR = a, QT = b. По условию RM = 1,5RN; в параллелограмме RM = QT = b, следовательно, RN = 2b/3. Так как TN — биссектриса угла QTR, расстояния от N до сторон TQ и TR равны. Из параллельности противоположных сторон это означает RN = QT = b. Сопоставление с RN = 2b/3 возможно только при b = 0, что не задаёт невырожденный параллелограмм. Следовательно, данные рисунка и условия противоречивы, и определить стороны невозможно.

Ответ: условие № 8 противоречиво; уточните отношение RM = 1,5RN или отметки углов на рисунке.

В прямоугольнике угол QST равен 90°. Если MS делит его пополам, треугольник QSM прямоугольный равнобедренный, поэтому MQ = QS. Кроме того, RM + MQ = RQ = 10. Обозначим ширину RQ = 10, высоту QS = h. Тогда MQ = QS = h, а RM = 10 − h. Треугольник QSM с равными катетами действительно даёт MQ = h, но дополнительных данных для определения h нет: равенство RM + MQ = 10 лишь повторяет RQ = 10. Стороны однозначно не находятся.

Ответ: данных недостаточно; требуется дополнительное условие о длине или отношении сторон.

Пусть MF = x, FK = y. По условию x − y = 6, а ширина прямоугольника MK = x + y. Угол MFE = 45°, а прямой угол при M означает, что треугольник MFE равнобедренный прямоугольный, поэтому ME = MF = x. Однако периметр даёт только MK + ME = 18, то есть x + y + x = 18. Решая систему 2x + y = 18, x − y = 6, получаем 3x = 24, x = 8, y = 2.

Следовательно, стороны прямоугольника равны MK = 10 и ME = 8.

Ответ: стороны равны 10 и 8.

В прямоугольном треугольнике LRM угол L равен 60°, а LM = 2. Тогда LR = LM · tan 60° = 2√3. Это сторона прямоугольника. Из периметра сумма соседних сторон равна 18, поэтому другая сторона равна 18 − 2√3.

Ответ: стороны равны 2√3 и 18 − 2√3.

Диагонали параллелограмма делятся пополам, поэтому BE = ED = 4 и BD = 8. В прямоугольном треугольнике AED угол E равен 90°, а угол A равен 30°. Сторона ED = 4 лежит напротив угла 30°, следовательно, гипотенуза AD = 8, а AE = 4√3. Диагональ AC = 2AE = 8√3. В треугольнике ACD гипотенуза AC равна 8√3, а CD = AB — катет напротив угла 30°, поэтому CD = 4√3. Второй катет AD = 8 уже найден.

Ответ: стороны параллелограмма равны 8 и 4√3.