Таблица. Решение квадратных неравенств. Часть 1 Номер задания Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 1 x² ≥ 0 x2 0 x² ≤ 0 x² < 0 2 (x - 3)2 < 0 (x + 4)2 ≤ 0 (x + 5)2 > 0 (x - 10)² ≥ 0 2 3 x² - 5x < 0 x² + 10x < 0 x² - 7x ≥ 0 x² + 25x > 0 4 x² - 25 > 0 x² - 16 ≥ 0 x² - 81 < 0 x² - 49 ≤ 0 5 x² - 10x + 25 <0 x²-8x+16>0 x² + 14x + 49 >0 x²+6x+9 <0 6 x² - 8x + 16>0 x²-10x + 25 < 0 2 x² + 6x + 9 <0 x² + 14x + 49 > 0 2 7 x² - 14x +49 <0 x²-6x+9≥0 x² + 8x + 16 ≥0 x²+10x + 25 ≤ 0 8 x² + 8x + 19 > 0 9 3x²-3x+7<0 2x² - 3x +7≥07x²+8x+90 5x2 + 3x + 10 > 0 x²+8x+90 5x2+3x+10<0 7x² + 8x + 9 < 0 10 x²+2x-15 < 0 x² + 4x - 21 > 0 x²-6x16 <0 x²-3x - 18 < 0

Решим каждое неравенство из таблицы.

1. Номер задания 1

• Вариант 1: $$x^2 \ge 0$$
  Это неравенство выполняется для всех действительных чисел, так как квадрат любого числа неотрицателен.
  Ответ: $$x \in (-\infty;+\infty)$$
• Вариант 2: $$x^2 > 0$$
  Это неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме 0.
  Ответ: $$x \in (-\infty;0) \cup (0;+\infty)$$
• Вариант 3: $$x^2 \le 0$$
  Это неравенство выполняется только при $$x = 0$$, так как квадрат любого числа неотрицателен.
  Ответ: $$x = 0$$
• Вариант 4: $$x^2 < 0$$
  Это неравенство не имеет решений, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.
  Ответ: решений нет.

2. Номер задания 2

• Вариант 1: $$(x - 3)^2 < 0$$
  Это неравенство не имеет решений, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.
  Ответ: решений нет.
• Вариант 2: $$(x + 4)^2 \le 0$$
  Это неравенство выполняется только при $$x = -4$$, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.
  Ответ: $$x = -4$$
• Вариант 3: $$(x + 5)^2 > 0$$
  Это неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $$x = -5$$.
  Ответ: $$x \in (-\infty;-5) \cup (-5;+\infty)$$
• Вариант 4: $$(x - 10)^2 \ge 0$$
  Это неравенство выполняется для всех действительных чисел, так как квадрат любого числа неотрицателен.
  Ответ: $$x \in (-\infty;+\infty)$$

3. Номер задания 3

• Вариант 1: $$x^2 - 5x < 0$$
  $$x(x - 5) < 0$$
  Решим методом интервалов. Нули функции: $$x = 0$$ и $$x = 5$$.
  Интервалы: $$(-\infty;0), (0;5), (5;+\infty)$$.
  Подставим значения из каждого интервала, например, -1, 1 и 6:
  $$(-1)(-1 - 5) = 6 > 0$$
  $$1(1 - 5) = -4 < 0$$
  $$6(6 - 5) = 6 > 0$$
  Ответ: $$x \in (0;5)$$
• Вариант 2: $$x^2 + 10x < 0$$
  $$x(x + 10) < 0$$
  Решим методом интервалов. Нули функции: $$x = 0$$ и $$x = -10$$.
  Интервалы: $$(-\infty;-10), (-10;0), (0;+\infty)$$.
  Подставим значения из каждого интервала, например, -11, -1 и 1:
  $$(-11)(-11 + 10) = 11 > 0$$
  $$(-1)(-1 + 10) = -9 < 0$$
  $$1(1 + 10) = 11 > 0$$
  Ответ: $$x \in (-10;0)$$
• Вариант 3: $$x^2 - 7x \ge 0$$
  $$x(x - 7) \ge 0$$
  Решим методом интервалов. Нули функции: $$x = 0$$ и $$x = 7$$.
  Интервалы: $$(-\infty;0), (0;7), (7;+\infty)$$.
  Подставим значения из каждого интервала, например, -1, 1 и 8:
  $$(-1)(-1 - 7) = 8 > 0$$
  $$1(1 - 7) = -6 < 0$$
  $$8(8 - 7) = 8 > 0$$
  Ответ: $$x \in (-\infty;0] \cup [7;+\infty)$$
• Вариант 4: $$x^2 + 25x > 0$$
  $$x(x + 25) > 0$$
  Решим методом интервалов. Нули функции: $$x = 0$$ и $$x = -25$$.
  Интервалы: $$(-\infty;-25), (-25;0), (0;+\infty)$$.
  Подставим значения из каждого интервала, например, -26, -1 и 1:
  $$(-26)(-26 + 25) = 26 > 0$$
  $$(-1)(-1 + 25) = -24 < 0$$
  $$1(1 + 25) = 26 > 0$$
  Ответ: $$x \in (-\infty;-25) \cup (0;+\infty)$$

4. Номер задания 4

• Вариант 1: $$x^2 - 25 > 0$$
  $$(x - 5)(x + 5) > 0$$
  Решим методом интервалов. Нули функции: $$x = -5$$ и $$x = 5$$.
  Интервалы: $$(-\infty;-5), (-5;5), (5;+\infty)$$.
  Подставим значения из каждого интервала, например, -6, 0 и 6:
  $$(-6 - 5)(-6 + 5) = 11 > 0$$
  $$(0 - 5)(0 + 5) = -25 < 0$$
  $$(6 - 5)(6 + 5) = 11 > 0$$
  Ответ: $$x \in (-\infty;-5) \cup (5;+\infty)$$
• Вариант 2: $$x^2 - 16 \ge 0$$
  $$(x - 4)(x + 4) \ge 0$$
  Решим методом интервалов. Нули функции: $$x = -4$$ и $$x = 4$$.
  Интервалы: $$(-\infty;-4), (-4;4), (4;+\infty)$$.
  Подставим значения из каждого интервала, например, -5, 0 и 5:
  $$(-5 - 4)(-5 + 4) = 9 > 0$$
  $$(0 - 4)(0 + 4) = -16 < 0$$
  $$(5 - 4)(5 + 4) = 9 > 0$$
  Ответ: $$x \in (-\infty;-4] \cup [4;+\infty)$$
• Вариант 3: $$x^2 - 81 < 0$$
  $$(x - 9)(x + 9) < 0$$
  Решим методом интервалов. Нули функции: $$x = -9$$ и $$x = 9$$.
  Интервалы: $$(-\infty;-9), (-9;9), (9;+\infty)$$.
  Подставим значения из каждого интервала, например, -10, 0 и 10:
  $$(-10 - 9)(-10 + 9) = 19 > 0$$
  $$(0 - 9)(0 + 9) = -81 < 0$$
  $$(10 - 9)(10 + 9) = 19 > 0$$
  Ответ: $$x \in (-9;9)$$
• Вариант 4: $$x^2 - 49 \le 0$$
  $$(x - 7)(x + 7) \le 0$$
  Решим методом интервалов. Нули функции: $$x = -7$$ и $$x = 7$$.
  Интервалы: $$(-\infty;-7), (-7;7), (7;+\infty)$$.
  Подставим значения из каждого интервала, например, -8, 0 и 8:
  $$(-8 - 7)(-8 + 7) = 15 > 0$$
  $$(0 - 7)(0 + 7) = -49 < 0$$
  $$(8 - 7)(8 + 7) = 15 > 0$$
  Ответ: $$x \in [-7;7]$$

5. Номер задания 5

• Вариант 1: $$x^2 - 10x + 25 < 0$$
  $$(x - 5)^2 < 0$$
  Это неравенство не имеет решений, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.
  Ответ: решений нет.
• Вариант 2: $$x^2 - 8x + 16 > 0$$
  $$(x - 4)^2 > 0$$
  Это неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $$x = 4$$.
  Ответ: $$x \in (-\infty;4) \cup (4;+\infty)$$
• Вариант 3: $$x^2 + 14x + 49 > 0$$
  $$(x + 7)^2 > 0$$
  Это неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $$x = -7$$.
  Ответ: $$x \in (-\infty;-7) \cup (-7;+\infty)$$
• Вариант 4: $$x^2 + 6x + 9 < 0$$
  $$(x + 3)^2 < 0$$
  Это неравенство не имеет решений, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.
  Ответ: решений нет.

6. Номер задания 6

• Вариант 1: $$x^2 - 8x + 16 > 0$$
  $$(x - 4)^2 > 0$$
  Это неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $$x = 4$$.
  Ответ: $$x \in (-\infty;4) \cup (4;+\infty)$$
• Вариант 2: $$x^2 - 10x + 25 < 0$$
  $$(x - 5)^2 < 0$$
  Это неравенство не имеет решений, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.
  Ответ: решений нет.
• Вариант 3: $$x^2 + 6x + 9 < 0$$
  $$(x + 3)^2 < 0$$
  Это неравенство не имеет решений, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.
  Ответ: решений нет.
• Вариант 4: $$x^2 + 14x + 49 > 0$$
  $$(x + 7)^2 > 0$$
  Это неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $$x = -7$$.
  Ответ: $$x \in (-\infty;-7) \cup (-7;+\infty)$$

7. Номер задания 7

• Вариант 1: $$x^2 - 14x + 49 \le 0$$
  $$(x - 7)^2 \le 0$$
  Это неравенство выполняется только при $$x = 7$$, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.
  Ответ: $$x = 7$$
• Вариант 2: $$x^2 - 6x + 9 \ge 0$$
  $$(x - 3)^2 \ge 0$$
  Это неравенство выполняется для всех действительных чисел, так как квадрат любого числа неотрицателен.
  Ответ: $$x \in (-\infty;+\infty)$$
• Вариант 3: $$x^2 + 8x + 16 \ge 0$$
  $$(x + 4)^2 \ge 0$$
  Это неравенство выполняется для всех действительных чисел, так как квадрат любого числа неотрицателен.
  Ответ: $$x \in (-\infty;+\infty)$$
• Вариант 4: $$x^2 + 10x + 25 \le 0$$
  $$(x + 5)^2 \le 0$$
  Это неравенство выполняется только при $$x = -5$$, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.
  Ответ: $$x = -5$$

8. Номер задания 8

• Вариант 1: $$x^2 + 8x + 19 > 0$$
  Выделим полный квадрат: $$(x + 4)^2 - 16 + 19 > 0$$
  $$(x + 4)^2 + 3 > 0$$
  Это неравенство выполняется для всех действительных чисел, так как квадрат любого числа неотрицателен.
  Ответ: $$x \in (-\infty;+\infty)$$
• Вариант 2: $$2x^2 - 3x + 7 \ge 0$$
  Найдем дискриминант: $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 9 - 56 = -47 < 0$$.
  Так как дискриминант отрицателен, а коэффициент при $$x^2$$ положителен, неравенство выполняется для всех действительных чисел.
  Ответ: $$x \in (-\infty;+\infty)$$
• Вариант 3: $$7x^2 + 8x + 9 \ge 0$$
  Найдем дискриминант: $$D = 8^2 - 4 \cdot 7 \cdot 9 = 64 - 252 = -188 < 0$$.
  Так как дискриминант отрицателен, а коэффициент при $$x^2$$ положителен, неравенство выполняется для всех действительных чисел.
  Ответ: $$x \in (-\infty;+\infty)$$
• Вариант 4: $$5x^2 + 3x + 10 > 0$$
  Найдем дискриминант: $$D = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot 10 = 9 - 200 = -191 < 0$$.
  Так как дискриминант отрицателен, а коэффициент при $$x^2$$ положителен, неравенство выполняется для всех действительных чисел.
  Ответ: $$x \in (-\infty;+\infty)$$

9. Номер задания 9

• Вариант 1: $$3x^2 - 3x + 7 < 0$$
  Найдем дискриминант: $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 9 - 84 = -75 < 0$$.
  Так как дискриминант отрицателен, а коэффициент при $$x^2$$ положителен, неравенство не имеет решений.
  Ответ: решений нет.
• Вариант 2: $$x^2 + 8x + 9 \le 0$$
  Найдем корни уравнения $$x^2 + 8x + 9 = 0$$:
  $$x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{7}}{2} = -4 \pm \sqrt{7}$$
  Таким образом, корни: $$x_1 = -4 - \sqrt{7}$$ и $$x_2 = -4 + \sqrt{7}$$.
  Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется между корнями.
  Ответ: $$x \in [-4 - \sqrt{7}; -4 + \sqrt{7}]$$
• Вариант 3: $$5x^2 + 3x + 10 < 0$$
  Найдем дискриминант: $$D = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot 10 = 9 - 200 = -191 < 0$$.
  Так как дискриминант отрицателен, а коэффициент при $$x^2$$ положителен, неравенство не имеет решений.
  Ответ: решений нет.
• Вариант 4: $$7x^2 + 8x + 9 \le 0$$
  Найдем дискриминант: $$D = 8^2 - 4 \cdot 7 \cdot 9 = 64 - 252 = -188 < 0$$.
  Так как дискриминант отрицателен, а коэффициент при $$x^2$$ положителен, неравенство не имеет решений.
  Ответ: решений нет.

10. Номер задания 10

• Вариант 1: $$x^2 + 2x - 15 < 0$$
  Найдем корни уравнения $$x^2 + 2x - 15 = 0$$:
  $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 \pm 8}{2}$$
  $$x_1 = \frac{-2 - 8}{2} = -5$$ и $$x_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3$$.
  Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется между корнями.
  Ответ: $$x \in (-5;3)$$
• Вариант 2: $$x^2 + 4x - 21 > 0$$
  Найдем корни уравнения $$x^2 + 4x - 21 = 0$$:
  $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-4 \pm 10}{2}$$
  $$x_1 = \frac{-4 - 10}{2} = -7$$ и $$x_2 = \frac{-4 + 10}{2} = 3$$.
  Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется вне корней.
  Ответ: $$x \in (-\infty;-7) \cup (3;+\infty)$$
• Вариант 3: $$x^2 - 6x - 16 \le 0$$
  Найдем корни уравнения $$x^2 - 6x - 16 = 0$$:
  $$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{6 \pm 10}{2}$$
  $$x_1 = \frac{6 - 10}{2} = -2$$ и $$x_2 = \frac{6 + 10}{2} = 8$$.
  Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется между корнями.
  Ответ: $$x \in [-2;8]$$
• Вариант 4: $$x^2 - 3x - 18 < 0$$
  Найдем корни уравнения $$x^2 - 3x - 18 = 0$$:
  $$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{3 \pm 9}{2}$$
  $$x_1 = \frac{3 - 9}{2} = -3$$ и $$x_2 = \frac{3 + 9}{2} = 6$$.
  Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется между корнями.
  Ответ: $$x \in (-3;6)$$