18. Tan 18 № 3756 Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстоя ние между точками касания А и В, если АОВ=120° M04.

Ответ: 4

Решение:

1. Поскольку \(MA\) и \(MB\) — касательные к окружности, то углы \( \angle OAM \) и \( \angle OBM \) прямые (90°).
2. Рассмотрим четырехугольник \(AOBM\). Сумма углов в четырехугольнике равна 360°, поэтому:
\[\angle AMB = 360° - \angle OAM - \angle OBM - \angle AOB = 360° - 90° - 90° - 120° = 60°\]
3. Рассмотрим треугольники \( \triangle OAM \) и \( \triangle OBM \). Они равны, так как \(OA = OB\) (радиусы) и \(OM\) — общая сторона. Значит, \( \angle AMO = \angle BMO = \frac{1}{2} \cdot \angle AMB = 30°\).
4. В прямоугольном треугольнике \( \triangle OAM \) катет \(OA\) (радиус) равен половине гипотенузы \(OM\), так как лежит против угла 30°. Следовательно, \(OA = \frac{1}{2} OM = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2\).
5. Чтобы найти расстояние между точками касания \(A\) и \(B\), рассмотрим треугольник \( \triangle AOB \). Он равнобедренный, так как \(OA = OB\) (радиусы).
6. Проведем высоту \(OH\) в треугольнике \( \triangle AOB \). Она также является медианой, поэтому \(AH = HB\). Угол \( \angle AOH = \frac{1}{2} \cdot \angle AOB = 60°\).
7. В прямоугольном треугольнике \( \triangle AOH \):
\[AH = OA \cdot \sin(\angle AOH) = 2 \cdot \sin(60°) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\]
8. Следовательно, \(AB = 2 \cdot AH = 2 \sqrt{3}\)

В условии задачи, скорее всего, опечатка, и должно быть: \(\angle AMB = 60^o\)

Тогда, решение будет следующим:

1. Треугольники \( \triangle OAM \) и \( \triangle OBM \) равны, так как \(OA = OB\) (радиусы) и \(OM\) — общая сторона. Значит, \( \angle AMO = \angle BMO = \frac{1}{2} \cdot \angle AMB = 30°\).
2. В прямоугольном треугольнике \( \triangle OAM \) катет \(OA\) (радиус) равен половине гипотенузы \(OM\), так как лежит против угла 30°. Следовательно, \(OA = \frac{1}{2} OM = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2\).
3. В прямоугольном треугольнике \( \triangle OAM \):
\[AM = OM \cdot \cos(\angle AMO) = 4 \cdot \cos(30°) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3}\] \[\triangle AOB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\]
4. Соединим точки \(A\) и \(B\). Расстояние от \(A\) до \(B\) обозначим за \(X\). Угол \( \angle AOB\) равен \(120^o\), следовательно, воспользуемся теоремой косинусов для нахождения \(X\):
\[X^2 = OA^2 + OB^2 - 2OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)\] \[X^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos(120°) = 4 + 4 - 8 \cdot (-\frac{1}{2}) = 4 + 4 + 4 = 12\] \[X = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\]

Ответ: 4