18. Tan 17 № 12801 Ваня доходит от дома до школы за 30 минут, а его сестра Лена за 40 минут. Через сколько минут Ваня догонит Лену, если Ваня выйдет из дома через 5 минут после ухода Лены?

Ответ: Ваня догонит Лену через 20 минут после своего выхода.

1. Шаг 1: Определяем скорость Вани и Лены. Пусть расстояние от дома до школы равно S. Тогда:
   • Скорость Вани: \(V_В = \frac{S}{30}\)
   • Скорость Лены: \(V_Л = \frac{S}{40}\)
2. Шаг 2: Определяем время, которое Лена шла до выхода Вани. Лена вышла на 5 минут раньше, поэтому время, которое она шла до выхода Вани, равно 5 минутам.
3. Шаг 3: Определяем расстояние, которое прошла Лена за это время. Расстояние, которое прошла Лена, равно: \[S_Л = V_Л \cdot 5 = \frac{S}{40} \cdot 5 = \frac{S}{8}\]
4. Шаг 4: Определяем относительную скорость Вани и Лены. Относительная скорость равна разнице скоростей Вани и Лены: \[V_{отн} = V_В - V_Л = \frac{S}{30} - \frac{S}{40} = \frac{4S - 3S}{120} = \frac{S}{120}\]
5. Шаг 5: Определяем время, через которое Ваня догонит Лену. Время, через которое Ваня догонит Лену, равно: \[t = \frac{S_Л}{V_{отн}} = \frac{\frac{S}{8}}{\frac{S}{120}} = \frac{S}{8} \cdot \frac{120}{S} = \frac{120}{8} = 15 \ (минут)\]
6. Шаг 6: Так как в вопросе спрашивается, через сколько минут после выхода Вани он догонит Лену, прибавляем 5 минут, которые Лена шла до выхода Вани. Тогда Ваня догонит Лену через: \[15 + 5 = 20 \ (минут)\]

Ответ: Ваня догонит Лену через 15 минут после своего выхода.