18. Tan 18 № 3514 Вариант № 3400858 В прямоугольной трапеция ABCD е основания AD и BC диагональ АС является биссектри сой угла 4, равного 45°. Найдите длину диагонали ВД, если меньшее основание трапеции равно 10/2. Запишите решение и ответ.

Ответ: 10

1. Шаг 1: Анализ условия

   В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC, диагональ AC является биссектрисой угла A, равного 45°. Меньшее основание трапеции равно \( \frac{10}{\sqrt{2}} \).

2. Шаг 2: Построение и свойства

   • Проведём высоту CH к основанию AD.
   • Рассмотрим треугольник ACH: он прямоугольный, угол CAH = 45°, следовательно, угол ACH = 45° (так как сумма углов в треугольнике 180°).
   • Таким образом, треугольник ACH равнобедренный, и AH = CH.

3. Шаг 3: Выражение AD через BC и AH

   Так как AH = AD - HD и HD = BC (потому что BCDH - прямоугольник), то AH = AD - BC.

4. Шаг 4: Нахождение AH

   Из условия BC = \(\frac{10}{\sqrt{2}}\), следовательно, AH = CH = AD - BC = \(\frac{10}{\sqrt{2}}\).

5. Шаг 5: Нахождение AD

   AD = AH + BC = \(\frac{10}{\sqrt{2}} + \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}\).

6. Шаг 6: Рассмотрение треугольника ACD

   Рассмотрим треугольник ACD: по теореме косинусов.

   \[CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos(\angle CAD)\]

7. Шаг 7: Вычисление CD

   Рассмотрим треугольник АСН: он прямоугольный и равнобедренный, значит, АС = АН * \(\sqrt{2}\) = \(\frac{10}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} = 10\).

   CD = AH = \(\frac{10}{\sqrt{2}}\).

8. Шаг 8: Вычисление BD

   Рассмотрим треугольник BCD: по теореме косинусов.

   \[BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(90^\circ)\]

   \[BD^2 = BC^2 + CD^2\]

   \[BD^2 = (\frac{10}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{10}{\sqrt{2}})^2\]

   \[BD^2 = \frac{100}{2} + \frac{100}{2} = 50 + 50 = 100\]

   \[BD = \sqrt{100} = 10\]

Ответ: 10