tan(arccos(5/13) + arcsin(3/5)) = ?

Решение:

Обозначим \( \alpha = \arccos{\frac{5}{13}} \) и \( \beta = \arcsin{\frac{3}{5}} \). Требуется найти \( \tan{(\alpha + \beta)} \).

1. Найдем \( \sin{\alpha} \) и \( \cos{\alpha} \):
   Из \( \alpha = \arccos{\frac{5}{13}} \) следует, что \( \cos{\alpha} = \frac{5}{13} \). Так как \( \alpha \) — угол арккосинуса, то \( 0 \le \alpha \le \pi \). Для \( \cos{\alpha} = \frac{5}{13} > 0 \), угол \( \alpha \) находится в первой четверти, поэтому \( \sin{\alpha} > 0 \).
   \[ \sin{\alpha} = \sqrt{1 - \cos^2{\alpha}} = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} \]
2. Найдем \( \sin{\beta} \) и \( \cos{\beta} \):
   Из \( \beta = \arcsin{\frac{3}{5}} \) следует, что \( \sin{\beta} = \frac{3}{5} \). Так как \( \beta \) — угол арксинуса, то \( -\frac{\pi}{2} \le \beta \le \frac{\pi}{2} \). Для \( \sin{\beta} = \frac{3}{5} > 0 \), угол \( \beta \) находится в первой четверти, поэтому \( \cos{\beta} > 0 \).
   \[ \cos{\beta} = \sqrt{1 - \sin^2{\beta}} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \]
3. Вычислим \( \tan{\alpha} \) и \( \tan{\beta} \):
   \[ \tan{\alpha} = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{5} \]\[ \tan{\beta} = \frac{\sin{\beta}}{\cos{\beta}} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4} \]
4. Применим формулу тангенса суммы:
   \[ \tan{(\alpha + \beta)} = \frac{\tan{\alpha} + \tan{\beta}}{1 - \tan{\alpha} \tan{\beta}} \]\[ \tan{(\alpha + \beta)} = \frac{\frac{12}{5} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{12}{5} \cdot \frac{3}{4}} = \frac{\frac{48 + 15}{20}}{1 - \frac{36}{20}} = \frac{\frac{63}{20}}{\frac{20 - 36}{20}} = \frac{\frac{63}{20}}{\frac{-16}{20}} = \frac{63}{-16} = -\frac{63}{16} \]

Ответ: -63/16.