Таня написала на доске число 42, а Тоня написала 37. Таня каждую минуту увеличивает своё число на 26 и записывает результат на доску, а Тоня каждую минуту увеличивает своё число на 21 и тоже записывает результат на доску. Каким будет наименьшее число, которое на доске напишет как Таня, так и Тоня, возможно не одновременно?

Пусть $$x$$ - время в минутах. Число Тани будет $$42 + 26x$$, а число Тони будет $$37 + 21x$$. Ищем наименьшее общее число, то есть решаем уравнение $$42 + 26x = 37 + 21y$$ для целых неотрицательных $$x, y$$.

Перепишем уравнение как $$26x - 21y = -5$$. Используя алгоритм Евклида, находим частное решение. Например, при $$x=1$$, $$26 - 21y = -5$$, $$21y = 31$$, нет целого $$y$$. При $$x=2$$, $$52 - 21y = -5$$, $$21y = 57$$, нет целого $$y$$. При $$x=3$$, $$78 - 21y = -5$$, $$21y = 83$$, нет целого $$y$$. При $$x=4$$, $$104 - 21y = -5$$, $$21y = 109$$, нет целого $$y$$. При $$x=5$$, $$130 - 21y = -5$$, $$21y = 135$$, нет целого $$y$$. При $$x=6$$, $$156 - 21y = -5$$, $$21y = 161$$, нет целого $$y$$. При $$x=7$$, $$182 - 21y = -5$$, $$21y = 187$$, нет целого $$y$$. При $$x=8$$, $$208 - 21y = -5$$, $$21y = 213$$, нет целого $$y$$. При $$x=9$$, $$234 - 21y = -5$$, $$21y = 239$$, нет целого $$y$$. При $$x=10$$, $$260 - 21y = -5$$, $$21y = 265$$, нет целого $$y$$. При $$x=11$$, $$286 - 21y = -5$$, $$21y = 291$$, нет целого $$y$$. При $$x=12$$, $$312 - 21y = -5$$, $$21y = 317$$, нет целого $$y$$. При $$x=13$$, $$338 - 21y = -5$$, $$21y = 343$$, $$y = 343/21 = 49/3$$, нет целого $$y$$. При $$x=14$$, $$364 - 21y = -5$$, $$21y = 369$$, нет целого $$y$$. При $$x=15$$, $$390 - 21y = -5$$, $$21y = 395$$, нет целого $$y$$. При $$x=16$$, $$416 - 21y = -5$$, $$21y = 421$$, нет целого $$y$$. При $$x=17$$, $$442 - 21y = -5$$, $$21y = 447$$, нет целого $$y$$. При $$x=18$$, $$468 - 21y = -5$$, $$21y = 473$$, нет целого $$y$$. При $$x=19$$, $$494 - 21y = -5$$, $$21y = 499$$, нет целого $$y$$. При $$x=20$$, $$520 - 21y = -5$$, $$21y = 525$$, $$y = 525/21 = 25$$.

Таким образом, при $$x=20$$ и $$y=25$$, число будет $$42 + 26 imes 20 = 42 + 520 = 562$$. Проверка: $$37 + 21 imes 25 = 37 + 525 = 562$$.

Наименьшее число равно 562.