Теңдеуді шешіңіз. 2x² - 7|x| + 5 = 0

Решение:

Данное уравнение содержит модуль, поэтому рассмотрим два случая:

1. Случай 1: x ≥ 0
   В этом случае |x| = x. Уравнение принимает вид: \( 2x^2 - 7x + 5 = 0 \).
   Решим это квадратное уравнение через дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 · 2 · 5 = 49 - 40 = 9 \).
   Корни уравнения: \( x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 · 2} = \frac{7+3}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 \), \( x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{9}}{2 · 2} = \frac{7-3}{4} = \frac{4}{4} = 1 \>.
   Оба корня \( x_1 = 2.5 \) и \( x_2 = 1 \) удовлетворяют условию \( x ≥ 0 \).
2. Случай 2: x < 0
   В этом случае |x| = -x. Уравнение принимает вид: \( 2x^2 - 7(-x) + 5 = 0 \), что упрощается до \( 2x^2 + 7x + 5 = 0 \>.
   Решим это квадратное уравнение через дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (7)^2 - 4 · 2 · 5 = 49 - 40 = 9 \>.
   Корни уравнения: \( x_3 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 · 2} = \frac{-7+3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \>.
   \( x_4 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 · 2} = \frac{-7-3}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5 \>.
   Оба корня \( x_3 = -1 \) и \( x_4 = -2.5 \) удовлетворяют условию \( x < 0 \).

Объединяя корни из обоих случаев, получаем все решения уравнения.

Ответ: x = 2.5, x = 1, x = -1, x = -2.5.