Теңдеуді шешіңіз. 2x² - 8|x| + 6 = 0

Решение:

Данное уравнение содержит модуль, поэтому нам нужно рассмотреть два случая.

Случай 1: x ≥ 0

Если $$x ≥ 0$$, то $$|x| = x$$. Уравнение примет вид:

\[ 2x^2 - 8x + 6 = 0 \]

Разделим все члены на 2:

\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4 \]

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

\[ x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

Оба корня $$x_1=3$$ и $$x_2=1$$ удовлетворяют условию $$x ≥ 0$$.

Случай 2: x < 0

Если $$x < 0$$, то $$|x| = -x$$. Уравнение примет вид:

\[ 2x^2 - 8(-x) + 6 = 0 \]

\[ 2x^2 + 8x + 6 = 0 \]

Разделим все члены на 2:

\[ x^2 + 4x + 3 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение:

\[ D = b^2 - 4ac = (4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4 \]

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x_3 = \frac{-(4) + \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

\[ x_4 = \frac{-(4) - \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Оба корня $$x_3=-1$$ и $$x_4=-3$$ удовлетворяют условию $$x < 0$$.

Объединяем корни из обоих случаев:

Корни уравнения: $$3, 1, -1, -3$$.

Проверка:

• Для $$x=3$$: $$2(3)^2 - 8|3| + 6 = 2(9) - 8(3) + 6 = 18 - 24 + 6 = 0$$.
• Для $$x=1$$: $$2(1)^2 - 8|1| + 6 = 2(1) - 8(1) + 6 = 2 - 8 + 6 = 0$$.
• Для $$x=-1$$: $$2(-1)^2 - 8|-1| + 6 = 2(1) - 8(1) + 6 = 2 - 8 + 6 = 0$$.
• Для $$x=-3$$: $$2(-3)^2 - 8|-3| + 6 = 2(9) - 8(3) + 6 = 18 - 24 + 6 = 0$$.

Ответ: $$x = ±1, x = ±3$$