Теңдеуді шешіңіз. (3x - 1)⁴ + 2(3x – 1)² – 3 = 0

Решение:

Это биквадратное уравнение относительно \( (3x - 1)^2 \). Сделаем замену переменной. Пусть \( y = (3x - 1)^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\( y^2 + 2y - 3 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \)

\( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

\( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)

Теперь вернемся к замене \( y = (3x - 1)^2 \).

Случай 1: \( y_1 = 1 \)

\( (3x - 1)^2 = 1 \)

\( 3x - 1 = 1 \) или \( 3x - 1 = -1 \)

\( 3x = 2 \) или \( 3x = 0 \)

\( x = \frac{2}{3} \) или \( x = 0 \)

Случай 2: \( y_2 = -3 \)

\( (3x - 1)^2 = -3 \)

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Таким образом, действительные решения уравнения:

1. \( x = 0 \)
2. \( x = \frac{2}{3} \)

Ответ: x = 0, x = \(\frac{2}{3}\).