Теңдеуді шешіңіз. (3x - 1)4 – 6(3x – 1)² - 27 = 0

Бұл теңдеуді шешу үшін, біз ауыстыру әдісін қолданамыз.

1. Ауыстыру:

Егер $$y = (3x - 1)^2$$ деп белгілесек, онда теңдеу келесі түрге келеді:

• $$y^2 - 6y - 27 = 0$$

2. Квадраттық теңдеуді шешу:

Бұл квадраттық теңдеуді шешу үшін біз дискриминантты қолданамыз:

• $$a = 1, b = -6, c = -27$$
• $$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(-27) = 36 + 108 = 144$$
• $$\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$$

Енді $$y$$-тің мәндерін табамыз:

• $$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 12}{2(1)} = \frac{18}{2} = 9$$
• $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 12}{2(1)} = \frac{-6}{2} = -3$$

3. $$x$$-ті табу:

Енді $$y$$-тің табылған мәндерін $$(3x - 1)^2$$ теңестіріп, $$x$$-ті табамыз.

Жағдай 1: $$y = 9$$

• $$(3x - 1)^2 = 9$$
• $$3x - 1 = \pm\sqrt{9}$$
• $$3x - 1 = \pm 3$$

Екі қосымша жағдай:

• $$3x - 1 = 3 → 3x = 4 → x_1 = \frac{4}{3}$$
• $$3x - 1 = -3 → 3x = -2 → x_2 = -\frac{2}{3}$$

Жағдай 2: $$y = -3$$

• $$(3x - 1)^2 = -3$$

Бұл жағдайда нақты шешім жоқ, себебі квадрат тең емес теріс санға.

Қорытынды:

Теңдеудің екі нақты шешімі бар.

Жауабы:

• $$x = \frac{4}{3}$$
• $$x = -\frac{2}{3}$$