te lgx, если x=...

Решение:

Для решения задачи необходимо упростить выражение для x, а затем подставить его в lgx. Обратим внимание на представленное выражение для x:

\( x = \sqrt[3]{\frac{n}{\sqrt{n \cdot m}}} \cdot \sqrt{\left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{1}{2}}} \)

Упростим первое слагаемое:

\( \sqrt[3]{\frac{n}{\sqrt{n \cdot m}}} = \left( \frac{n}{(n \cdot m)^{\frac{1}{2}}} \right)^{\frac{1}{3}} = \left( \frac{n}{n^{\frac{1}{2}} m^{\frac{1}{2}}} \right)^{\frac{1}{3}} = \left( n^{1 - \frac{1}{2}} m^{-\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{3}} = \left( n^{\frac{1}{2}} m^{-\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{3}} = n^{\frac{1}{6}} m^{-\frac{1}{6}} \)

Теперь упростим второе слагаемое:

\( \sqrt{\left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{1}{2}}} = \left( \left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{2}} = \left( \frac{n}{m} \right)^{\frac{1}{4}} = n^{\frac{1}{4}} m^{-\frac{1}{4}} \)

Теперь перемножим упрощённые слагаемые:

\( x = n^{\frac{1}{6}} m^{-\frac{1}{6}} \cdot n^{\frac{1}{4}} m^{-\frac{1}{4}} \)

Приведём степени к общему знаменателю:

\( n^{\frac{1}{6}} = n^{\frac{2}{12}} \), \( m^{-\frac{1}{6}} = m^{-\frac{2}{12}} \), \( n^{\frac{1}{4}} = n^{\frac{3}{12}} \), \( m^{-\frac{1}{4}} = m^{-\frac{3}{12}} \)

Сложим степени для n и m:

\( x = n^{\frac{2}{12} + \frac{3}{12}} m^{-\frac{2}{12} - \frac{3}{12}} = n^{\frac{5}{12}} m^{-\frac{5}{12}} = \left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{5}{12}} \)

Теперь нужно вычислить lgx, где lg — это десятичный логарифм (по основанию 10).

\( \lg x = \lg \left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{5}{12}} \)

Используя свойство логарифма \( \log_b(a^c) = c \log_b(a) \):

\( \lg x = \frac{5}{12} \lg \left(\frac{n}{m}\right) \)

Используя свойство логарифма \( \log_b(\frac{a}{c}) = \log_b(a) - \log_b(c) \):

\( \lg x = \frac{5}{12} (\lg n - \lg m) \)

В задании присутствует число '10', но не указано, как оно связано с выражением. Без дополнительной информации о 'n' и 'm' или роли числа '10', дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: \( \frac{5}{12} (\lg n - \lg m) \).