те уравнение: 6 cos^2 x - 7 cos x - 5 = 0

Решение:

Для решения данного уравнения, сначала сделаем замену переменной. Пусть \( y = \cos x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 6y^2 - 7y - 5 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 49 + 120 = 169 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{7 + 13}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3} \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 13}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} \]

Теперь вернемся к замене \( y = \cos x \). Рассмотрим два случая:

1. \( \cos x = \frac{5}{3} \)

Так как значение косинуса не может быть больше 1, это уравнение не имеет решений.

1. \( \cos x = -\frac{1}{2} \)

Общее решение этого уравнения:

\[ x = \pm \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Известно, что \( \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{2\pi}{3} \). Таким образом, решения:

\[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Это означает, что:

\[ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Можно также записать второе решение как \( x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k \, \text{при} \, k \to k-1 \).

Ответ: \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \).