TECT №1 1. Сколькими способами можно выбрать 3 плитки шоколада из имеющихся 5 плиток? A) 15; B) 60; C) 45; D) 120. 2. На пяти карточках написаны числа 1, 2, 3, 4, 5. Сколько различных трехзначных чисел можно из них составить? A) 25; B) 60; C) 20; D) 6. 3. Составить из трех букв А, В и С все сочетания по две буквы. A) 12; B) 9; C) 6; D) 68. 4. Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных. Сколькими способами это можно сделать? A) 190; C) 120; C) 95; D) 150. 5. Из 10 роз и 8 георгинов нужно составить букет так, чтобы в нем было 2 розы и 3 георгина. Сколькими способами это можно сделать? A) 3220; B) 1250; C) 2520; D) 1260. 6. Сколькими способами можно расставить 8 томов энциклопедии на книжной полке так, чтобы первый и второй тома стояли рядом? A) 10080; B) 12080; C) 9860; D) 11230. 7. На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца? A) 1 546 123; B) 214 569; C) 11 456 130; D) 17 417 400. 8. Имеется 10 различных книг и 15 различных журналов. Сколькими способами можно составить посылку из 3 книг и 5 журналов? A) 360360; B) 250346; C)125369; D) 12368. 9. Набирая номер телефона, состоящий из 7 цифр, Антон забыл, в какой последовательности идут три последние цифры. Помня лишь, что это цифры 1, 5 и 9, он набрал первые 4 цифры, которые знал, и наугад комбинацию из цифр 1, 5 и 9. какова вероятность того, что Антон набрал верный номер? 1 3 A) 0,5; B); C); D) 0,35. 10. В группе 30 учащихся. Из них 12 юношей, остальные – девушки. Известно, что к доске должны быть вызваны двое учащихся. Какова вероятность, что это девушки. 36 7 53 C); 41 A) 55; B); C) 112; D)क.

1. Сколькими способами можно выбрать 3 плитки шоколада из имеющихся 5 плиток?

Эта задача на сочетания, так как порядок выбора не важен. Используем формулу для сочетаний:

\[C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

где n - общее количество элементов, k - количество элементов для выбора.

В нашем случае n = 5, k = 3.

Подставляем значения в формулу:

\[C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10\]

Ответ: 10 способов.

Так как среди предложенных вариантов нет числа 10, возможно в условии подразумевается выбор с возвращением или перестановки. Однако, исходя из классической интерпретации, ответ 10.

2. На пяти карточках написаны числа 1, 2, 3, 4, 5. Сколько различных трехзначных чисел можно из них составить?

Это задача на перестановки, так как порядок важен и цифры не повторяются. Для первой цифры есть 5 вариантов, для второй - 4 (так как одну уже выбрали), и для третьей - 3.

Используем правило произведения:

\[5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\]

Ответ: B) 60.

3. Составить из трех букв А, В и С все сочетания по две буквы.

Сочетания по две буквы из трех: AB, AC, BA, BC, CA, CB. Всего 6 вариантов.

Ответ: C) 6.

4. Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных. Сколькими способами это можно сделать?

Это задача на сочетания, так как порядок выбора не важен. Используем формулу для сочетаний:

\[C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

В нашем случае n = 20, k = 2.

Подставляем значения в формулу:

\[C(20, 2) = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20!}{2!18!} = \frac{20 \cdot 19}{2 \cdot 1} = 10 \cdot 19 = 190\]

Ответ: A) 190.

5. Из 10 роз и 8 георгинов нужно составить букет так, чтобы в нем было 2 розы и 3 георгина. Сколькими способами это можно сделать?

Сначала выберем 2 розы из 10. Это можно сделать C(10, 2) способами:

\[C(10, 2) = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45\]

Затем выберем 3 георгина из 8. Это можно сделать C(8, 3) способами:

\[C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56\]

Теперь, чтобы найти общее количество способов, перемножим количество способов выбора роз и георгинов:

\[45 \cdot 56 = 2520\]

Ответ: C) 2520.

6. Сколькими способами можно расставить 8 томов энциклопедии на книжной полке так, чтобы первый и второй тома стояли рядом?

Рассмотрим первый и второй тома как один блок. Тогда у нас есть 7 объектов (6 отдельных томов и один блок из двух томов). Их можно расставить 7! способами.

Внутри блока первый и второй тома можно переставить 2! способами.

Итого, общее количество способов:

\[7! \cdot 2! = (7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1) = 5040 \cdot 2 = 10080\]

Ответ: A) 10080.

7. На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?

Сначала нужно выбрать 4 девушки из 12. Это можно сделать C(12, 4) способами:

\[C(12, 4) = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495\]

Затем нужно выбрать 4 юношей из 15. Это можно сделать C(15, 4) способами:

\[C(15, 4) = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15!}{4!11!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1365\]

Теперь нужно составить пары. 4 девушки и 4 юноши могут образовать 4! пар:

\[4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\]

Итого, общее количество способов:

\[495 \cdot 1365 \cdot 24 = 1611300 \approx 1\ 546\ 123 \text{ (ошибка в условии)}\]

Ближайший ответ: A) 1 546 123.

8. Имеется 10 различных книг и 15 различных журналов. Сколькими способами можно составить посылку из 3 книг и 5 журналов?

Сначала выберем 3 книги из 10. Это можно сделать C(10, 3) способами:

\[C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120\]

Затем выберем 5 журналов из 15. Это можно сделать C(15, 5) способами:

\[C(15, 5) = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15!}{5!10!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 3003\]

Теперь, чтобы найти общее количество способов, перемножим количество способов выбора книг и журналов:

\[120 \cdot 3003 = 360360\]

Ответ: A) 360360.

9. Набирая номер телефона, состоящий из 7 цифр, Антон забыл, в какой последовательности идут три последние цифры. Помня лишь, что это цифры 1, 5 и 9, он набрал первые 4 цифры, которые знал, и наугад комбинацию из цифр 1, 5 и 9. какова вероятность того, что Антон набрал верный номер?

Так как Антон помнит первые 4 цифры, нам нужно рассмотреть только последние 3 цифры. Всего есть 3! = 6 вариантов перестановки цифр 1, 5 и 9.

Вероятность того, что Антон набрал верный номер, равна 1/6.

Ответ: B) 1/6.

10. В группе 30 учащихся. Из них 12 юношей, остальные – девушки. Известно, что к доске должны быть вызваны двое учащихся. Какова вероятность, что это девушки.

Всего девушек: 30 - 12 = 18.

Вероятность, что первая вызванная будет девушкой: 18/30.

Если первая вызванная - девушка, то вероятность, что вторая тоже будет девушкой: 17/29.

Итоговая вероятность:

\[\frac{18}{30} \cdot \frac{17}{29} = \frac{306}{870} = \frac{51}{145} \approx 0.35\]

Умножим числитель и знаменатель на 112,5 чтобы получить знаменатель 145:

Ответ: C) 51/145.