Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаТело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v₀. Его скорость на высоте, равной 1/3 от максимальной высоты подъема, равна ...
Ответ:
Решение:
Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии или уравнениями кинематики.
1. Через кинематику:
Максимальная высота подъема \( H \) достигается, когда конечная скорость равна нулю. Используем формулу:
\[ v^2 = v_0^2 + 2 a s \]В нашем случае \( v = 0 \) (на максимальной высоте), \( a = -g \) (ускорение свободного падения направлено против начальной скорости), \( s = H \).
\[ 0^2 = v_0^2 + 2 (-g) H \]Отсюда находим максимальную высоту подъема:
\[ H = \frac{v_0^2}{2g} \]Теперь рассмотрим движение тела до высоты \( h = \frac{1}{3} H \). Пусть скорость на этой высоте равна \( v \). Используем ту же формулу:
\[ v^2 = v_0^2 + 2 a h \]Подставляем \( a = -g \) и \( h = \frac{1}{3} H \):
\[ v^2 = v_0^2 + 2 (-g) \left( \frac{1}{3} H \right) \]Заменим \( H = \frac{v_0^2}{2g} \):
\[ v^2 = v_0^2 - \frac{2g}{3} \left( \frac{v_0^2}{2g} \right) \]Упрощаем:
\[ v^2 = v_0^2 - \frac{v_0^2}{3} = \frac{3v_0^2 - v_0^2}{3} = \frac{2v_0^2}{3} \]Находим скорость \( v \):
\[ v = \sqrt{\frac{2v_0^2}{3}} = v_0 \sqrt{\frac{2}{3}} \]2. Через закон сохранения энергии:
Начальная энергия (в нижней точке) равна кинетической энергии: \( E_0 = \frac{1}{2} m v_0^2 \). Потенциальная энергия принимается равной нулю.
На высоте \( h = \frac{1}{3} H \) энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий:
\[ E_h = \frac{1}{2} m v^2 + m g h \]Используя \( h = \frac{1}{3} H = \frac{1}{3} \frac{v_0^2}{2g} = \frac{v_0^2}{6g} \):
\[ E_h = \frac{1}{2} m v^2 + m g \left( \frac{v_0^2}{6g} \right) = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{6} m v_0^2 \]По закону сохранения энергии \( E_0 = E_h \):
\[ \frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{6} m v_0^2 \]Сократим на \( m \) и умножим на 2:
\[ v_0^2 = v^2 + \frac{1}{3} v_0^2 \]Выразим \( v^2 \):
\[ v^2 = v_0^2 - \frac{1}{3} v_0^2 = \frac{2}{3} v_0^2 \]Находим \( v \):
\[ v = \sqrt{\frac{2}{3} v_0^2} = v_0 \sqrt{\frac{2}{3}} \]Ответ: Скорость тела на высоте, равной 1/3 от максимальной высоты подъема, равна \( v_0 \sqrt{\frac{2}{3}} \).
