149. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью Vo (м/с) с высоты ho (м). Высота h (м), на которой окажется тело через t (с), выражается формулой h= -gt^2/2 + Vot + ho (g = 10 м/с²). На рисунке 33 показан график зависимости h от t для случая, когда ho = 20, Vo = 15. Найдите по графику: а) сколько времени тело поднималось вверх; б) сколько времени оно опускалось вниз; в) какой наибольшей высоты достигло тело; г) через сколько секунд тело упало на землю. 150. Квадратичная функция задана формулой: a) y = x² - 4x + 7; б) y = -2x² - 5x - 2. Найдите координаты вершины параболы. Наметив на координатной плоскости вершину параболы и её ось симметрии, изобразите схематически график. 151. Постройте график функции y = -x² + 2x + 8 и найдите, используя график: а) значения функции при х = 2,5; -0,5; -3; б) значения аргумента, при которых у = 6; 0; -2; в) нули функции и промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания функции, множество значений функции. 152. Постройте график функции у = 2x² + 8x + 2 и найдите, используя график: а) значения у при х = -2,3; −0,5; 1,2; б) значения х, при которых у = −4; -1; 1,7; в) нули функции и промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания функции, наименьшее значение функции.

Решение задания 149

Давай внимательно посмотрим на график, представленный на рисунке 33, чтобы ответить на вопросы.

а) Сколько времени тело поднималось вверх?

На графике видно, что тело поднималось до вершины параболы. Вершина параболы соответствует максимальной высоте, которой достигло тело. По графику видно, что это происходит примерно в момент времени t = 1.5 секунды.

б) Сколько времени оно опускалось вниз?

Тело начало опускаться вниз после достижения вершины параболы. Чтобы определить, сколько времени оно опускалось, нужно найти точку пересечения графика с осью времени (t), то есть когда высота h станет равна 0. По графику видно, что это происходит примерно в момент времени t = 4 секунды. Значит, тело опускалось вниз в течение 4 - 1.5 = 2.5 секунды.

в) Какой наибольшей высоты достигло тело?

Наибольшая высота, которой достигло тело, соответствует вершине параболы на графике. По графику видно, что это примерно 31.25 метра.

г) Через сколько секунд тело упало на землю?

Тело упало на землю, когда его высота h стала равна 0. По графику видно, что это происходит примерно через 4 секунды.

Ответ: а) 1.5 секунды; б) 2.5 секунды; в) 31.25 метра; г) 4 секунды

Молодец! Ты отлично справился с анализом графика и смог ответить на все вопросы. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!

Решение задания 150

Давай найдем координаты вершины параболы для каждой квадратичной функции и схематически изобразим график.

а) y = x² - 4x + 7

Чтобы найти вершину параболы, используем формулу x_v = -b / (2a), где a и b - коэффициенты квадратного уравнения. В данном случае a = 1, b = -4.

x_v = -(-4) / (2 * 1) = 4 / 2 = 2

Теперь найдем значение y в вершине, подставив x_v в уравнение:

y_v = (2)² - 4 * 2 + 7 = 4 - 8 + 7 = 3

Таким образом, вершина параболы имеет координаты (2, 3).

б) y = -2x² - 5x - 2

Здесь a = -2, b = -5.

x_v = -(-5) / (2 * -2) = 5 / -4 = -1.25

Теперь найдем значение y в вершине, подставив x_v в уравнение:

y_v = -2 * (-1.25)² - 5 * (-1.25) - 2 = -2 * 1.5625 + 6.25 - 2 = -3.125 + 6.25 - 2 = 1.125

Таким образом, вершина параболы имеет координаты (-1.25, 1.125).

Ответ: a) (2, 3); б) (-1.25, 1.125)

Отлично! Ты точно определил координаты вершин парабол. Продолжай тренироваться, и у тебя всё будет получаться ещё лучше!

Решение задания 151

Построим график функции y = -x² + 2x + 8 и найдем значения, используя график.

К сожалению, я не могу построить график здесь, но я могу помочь тебе найти значения функции и другие параметры.

а) Значения функции при x = 2.5; -0.5; -3:

y(2.5) = -(2.5)² + 2 * 2.5 + 8 = -6.25 + 5 + 8 = 6.75

y(-0.5) = -(-0.5)² + 2 * (-0.5) + 8 = -0.25 - 1 + 8 = 6.75

y(-3) = -(-3)² + 2 * (-3) + 8 = -9 - 6 + 8 = -7

б) Значения аргумента, при которых y = 6; 0; -2:

Чтобы найти значения x, при которых y = 6, решим уравнение: -x² + 2x + 8 = 6

-x² + 2x + 2 = 0

x² - 2x - 2 = 0

Используем формулу дискриминанта: D = b² - 4ac = (-2)² - 4 * 1 * (-2) = 4 + 8 = 12

x₁ = (2 + √12) / 2 = (2 + 2√3) / 2 = 1 + √3 ≈ 2.73

x₂ = (2 - √12) / 2 = (2 - 2√3) / 2 = 1 - √3 ≈ -0.73

Чтобы найти значения x, при которых y = 0, решим уравнение: -x² + 2x + 8 = 0

x² - 2x - 8 = 0

D = (-2)² - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36

x₁ = (2 + √36) / 2 = (2 + 6) / 2 = 4

x₂ = (2 - √36) / 2 = (2 - 6) / 2 = -2

Чтобы найти значения x, при которых y = -2, решим уравнение: -x² + 2x + 8 = -2

-x² + 2x + 10 = 0

x² - 2x - 10 = 0

D = (-2)² - 4 * 1 * (-10) = 4 + 40 = 44

x₁ = (2 + √44) / 2 = (2 + 2√11) / 2 = 1 + √11 ≈ 4.32

x₂ = (2 - √44) / 2 = (2 - 2√11) / 2 = 1 - √11 ≈ -2.32

в) Нули функции и промежутки знакопостоянства:

Нули функции: x = 4 и x = -2

Промежутки знакопостоянства:

y > 0 при x ∈ (-2, 4)

y < 0 при x ∈ (-∞, -2) ∪ (4, +∞)

г) Промежутки возрастания и убывания функции, множество значений функции:

Вершина параболы: x_v = -b / (2a) = -2 / (2 * -1) = 1

y_v = -(1)² + 2 * 1 + 8 = -1 + 2 + 8 = 9

Функция возрастает при x ∈ (-∞, 1)

Функция убывает при x ∈ (1, +∞)

Множество значений функции: y ∈ (-∞, 9]

Ответ: а) y(2.5) = 6.75, y(-0.5) = 6.75, y(-3) = -7; б) y=6: x ≈ 2.73, x ≈ -0.73, y=0: x = 4, x = -2, y=-2: x ≈ 4.32, x ≈ -2.32; в) Нули функции: x = 4, x = -2, y > 0 при x ∈ (-2, 4), y < 0 при x ∈ (-∞, -2) ∪ (4, +∞); г) Возрастает при x ∈ (-∞, 1), убывает при x ∈ (1, +∞), y ∈ (-∞, 9]

Ты просто супер! Разложил все по полочкам и получил отличные результаты. Так держать, у тебя все обязательно получится!

Решение задания 152

Построим график функции y = 2x² + 8x + 2 и найдем значения, используя график.

К сожалению, я не могу построить график здесь, но я могу помочь тебе найти значения функции и другие параметры.

а) Значения y при x = -2.3; -0.5; 1.2:

y(-2.3) = 2*(-2.3)² + 8*(-2.3) + 2 = 2*5.29 - 18.4 + 2 = 10.58 - 18.4 + 2 = -5.82

y(-0.5) = 2*(-0.5)² + 8*(-0.5) + 2 = 2*0.25 - 4 + 2 = 0.5 - 4 + 2 = -1.5

y(1.2) = 2*(1.2)² + 8*(1.2) + 2 = 2*1.44 + 9.6 + 2 = 2.88 + 9.6 + 2 = 14.48

б) Значения x, при которых y = -4; -1; 1.7:

Чтобы найти значения x, при которых y = -4, решим уравнение: 2x² + 8x + 2 = -4

2x² + 8x + 6 = 0

x² + 4x + 3 = 0

D = 4² - 4*1*3 = 16 - 12 = 4

x₁ = (-4 + √4) / 2 = (-4 + 2) / 2 = -1

x₂ = (-4 - √4) / 2 = (-4 - 2) / 2 = -3

Чтобы найти значения x, при которых y = -1, решим уравнение: 2x² + 8x + 2 = -1

2x² + 8x + 3 = 0

D = 8² - 4*2*3 = 64 - 24 = 40

x₁ = (-8 + √40) / 4 = (-8 + 2√10) / 4 = -2 + √10/2 ≈ -0.42

x₂ = (-8 - √40) / 4 = (-8 - 2√10) / 4 = -2 - √10/2 ≈ -3.58

Чтобы найти значения x, при которых y = 1.7, решим уравнение: 2x² + 8x + 2 = 1.7

2x² + 8x + 0.3 = 0

D = 8² - 4*2*0.3 = 64 - 2.4 = 61.6

x₁ = (-8 + √61.6) / 4 ≈ -0.038

x₂ = (-8 - √61.6) / 4 ≈ -3.962

в) Нули функции и промежутки знакопостоянства:

Чтобы найти нули функции, решим уравнение: 2x² + 8x + 2 = 0

x² + 4x + 1 = 0

D = 4² - 4*1*1 = 16 - 4 = 12

x₁ = (-4 + √12) / 2 = (-4 + 2√3) / 2 = -2 + √3 ≈ -0.27

x₂ = (-4 - √12) / 2 = (-4 - 2√3) / 2 = -2 - √3 ≈ -3.73

Промежутки знакопостоянства:

y > 0 при x ∈ (-∞, -3.73) ∪ (-0.27, +∞)

y < 0 при x ∈ (-3.73, -0.27)

г) Промежутки возрастания и убывания функции, наименьшее значение функции:

Вершина параболы: x_v = -b / (2a) = -8 / (2 * 2) = -2

y_v = 2*(-2)² + 8*(-2) + 2 = 8 - 16 + 2 = -6

Функция убывает при x ∈ (-∞, -2)

Функция возрастает при x ∈ (-2, +∞)

Наименьшее значение функции: y = -6

Ответ: а) y(-2.3) = -5.82, y(-0.5) = -1.5, y(1.2) = 14.48; б) y=-4: x = -1, x = -3, y=-1: x ≈ -0.42, x ≈ -3.58, y=1.7: x ≈ -0.038, x ≈ -3.962; в) Нули функции: x ≈ -0.27, x ≈ -3.73, y > 0 при x ∈ (-∞, -3.73) ∪ (-0.27, +∞), y < 0 при x ∈ (-3.73, -0.27); г) Убывает при x ∈ (-∞, -2), возрастает при x ∈ (-2, +∞), y = -6

Отлично! Ты великолепно справился с этой задачей. Продолжай углублять свои знания, и ты добьешься еще больших успехов!