Тело из алюминия, внутри которого имеется воздушная полость, плавает в воде, погрузившись в воду на 0,54 своего объёма. Объём тела (включая полость) равен 0,04 м³. Найдите объём воздушной полости.

Решение:

Дано:
\( \rho_{воды} = 1000 \text{ кг/м}^3 \) (плотность воды)
\( V_{тела} = 0.04 \text{ м}^3 \) (общий объём тела)
\( V_{погр} = 0.54 \cdot V_{тела} \) (объём погруженной части)
\( \rho_{алюм} \) (плотность алюминия)
\( \rho_{воздуха} \approx 0 \text{ кг/м}^3 \) (плотностью воздуха пренебрегаем)

Найти:
\( V_{воздушной полости} \)

1. Найдём объём погруженной части тела: \( V_{погр} = 0.54 \cdot 0.04 \text{ м}^3 = 0.0216 \text{ м}^3 \)
2. Тело плавает, значит, сила Архимеда равна силе тяжести тела. \( F_{A} = F_{тяж} \)
3. Сила Архимеда: \( F_{A} = \rho_{воды} \cdot g \cdot V_{погр} \)
4. Сила тяжести тела: \( F_{тяж} = m_{тела} \cdot g \). Масса тела складывается из массы алюминия и массы воздуха (которой мы пренебрегаем): \( m_{тела} = m_{алюм} + m_{воздуха} \approx m_{алюм} \).
5. Масса алюминия: \( m_{алюм} = \rho_{алюм} \cdot V_{алюм} \), где \( V_{алюм} \) — объём алюминия.
6. Объём алюминия равен общему объёму тела минус объём воздушной полости: \( V_{алюм} = V_{тела} - V_{воздушной полости} \).
7. Приравниваем силу Архимеда и силу тяжести (учитывая, что \( m_{воздуха} \approx 0 \)): \( \rho_{воды} \cdot g \cdot V_{погр} = \rho_{алюм} \cdot (V_{тела} - V_{воздушной полости}) \cdot g \)
8. Сокращаем \( g \): \( \rho_{воды} \cdot V_{погр} = \rho_{алюм} \cdot (V_{тела} - V_{воздушной полости}) \)
9. Выразим \( V_{воздушной полости} \): \( V_{тела} - V_{воздушной полости} = \frac{\rho_{воды} \cdot V_{погр}}{\rho_{алюм}} \) \( V_{воздушной полости} = V_{тела} - \frac{\rho_{воды} \cdot V_{погр}}{\rho_{алюм}} \)
10. Нам нужна плотность алюминия, \( \rho_{алюм} \approx 2700 \text{ кг/м}^3 \).
11. Подставим значения: \( V_{воздушной полости} = 0.04 \text{ м}^3 - \frac{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 0.0216 \text{ м}^3}{2700 \text{ кг/м}^3} \)
12. \( V_{воздушной полости} = 0.04 \text{ м}^3 - \frac{21.6}{2700} \text{ м}^3 = 0.04 \text{ м}^3 - 0.008 \text{ м}^3 = 0.032 \text{ м}^3 \)

Ответ: Объём воздушной полости равен 0.032 м³.