Тело массой 2 кг падает на невесомую платформу, удерживаемую вертикальной пружиной, и совершает гармонические колебания по представленному графику. Ответы представьте с точностью до десятых. Определите коэффициент жесткости пружины. Определите амплитудное значение скорости. Определите кинетическую энергию груза на момент времени 2.5 с.

Задание 1. Коэффициент жесткости пружины

Дано:

• Масса тела: \( m = 2 \) кг.
• График колебаний (смещение \( x \) от положения равновесия в зависимости от времени \( t \)).

Найти: коэффициент жесткости пружины \( k \).

Анализ графика:

1. Амплитуда колебаний: \( A = 40 \) см = 0.4 м (максимальное отклонение от положения равновесия).
2. Период колебаний: \( T \) — время одного полного колебания. По графику видно, что одно полное колебание (от пика до пика или от одного нуля до следующего с тем же направлением движения) занимает \( T = 20 \) с.

Решение:

1. Период колебаний математического маятника (или пружинного, если платформа невесома и колебания вертикальные) связан с массой и жесткостью пружины формулой: \[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \]
2. Возведём обе части в квадрат: \[ T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k} \]
3. Выразим коэффициент жесткости \( k \): \[ k = \frac{4\pi^2 m}{T^2} \]
4. Подставим известные значения: \( m = 2 \) кг, \( T = 20 \) с.
5. \( k = \frac{4 \cdot (3.14)^2 \cdot 2}{ (20)^2} = \frac{4 \cdot 9.86 \cdot 2}{400} = \frac{78.88}{400} \approx 0.1972 \) Н/м.

Ответ: Коэффициент жесткости пружины равен примерно 0.20 Н/м.

Задание 2. Амплитудное значение скорости

Дано:

• Амплитуда смещения: \( A = 0.4 \) м.
• Период колебаний: \( T = 20 \) с.

Найти: амплитудное значение скорости \( v_{max} \).

Решение:

1. Скорость в гармонических колебаниях изменяется по закону, производному от закона смещения. Максимальная скорость достигается, когда тело проходит положение равновесия (где \( x = 0 \)).
2. Циклическая частота колебаний: \[ \omega = \frac{2\pi}{T} \]
3. \( \omega = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10} \) рад/с.
4. Амплитудное значение скорости находится по формуле: \[ v_{max} = A \cdot \omega \]
5. Подставим значения: \( A = 0.4 \) м, \( \omega = \frac{\pi}{10} \) рад/с.
6. \( v_{max} = 0.4 \cdot \frac{\pi}{10} = 0.04 \pi \approx 0.04 \cdot 3.14 = 0.1256 \) м/с.

Ответ: Амплитудное значение скорости равно примерно 0.13 м/с.

Задание 3. Кинетическая энергия груза на момент времени 2.5 с

Дано:

• Масса тела: \( m = 2 \) кг.
• Время: \( t = 2.5 \) с.
• Амплитуда смещения: \( A = 0.4 \) м.
• Период колебаний: \( T = 20 \) с.
• Циклическая частота: \( \omega = \frac{\pi}{10} \) рад/с.

Найти: кинетическую энергию \( E_k \) на момент времени \( t = 2.5 \) с.

Решение:

1. Смещение тела в момент времени \( t \) описывается формулой: \[ x(t) = A \cos(\omega t) \] (предполагаем, что в \( t=0 \) тело было в максимальном отклонении).
2. Подставим значения: \( x(2.5) = 0.4 \cdot \cos(\frac{\pi}{10} \cdot 2.5) = 0.4 \cdot \cos(\frac{\pi}{4}) \)
3. \( \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \)
4. \( x(2.5) = 0.4 \cdot 0.707 = 0.2828 \) м.
5. Скорость тела в момент времени \( t \) находится как производная от смещения по времени: \[ v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega\sin(\omega t) \]
6. \( v(2.5) = -0.4 \cdot \frac{\pi}{10} \cdot \sin(\frac{\pi}{10} \cdot 2.5) = -0.04\pi \cdot \sin(\frac{\pi}{4}) \)
7. \( \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \)
8. \( v(2.5) = -0.04\pi \cdot 0.707 \approx -0.04 \cdot 3.14 \cdot 0.707 \approx -0.0888 \) м/с.
9. Кинетическая энергия вычисляется по формуле: \[ E_k = \frac{1}{2} m v^2 \]
10. Подставим значения: \( m = 2 \) кг, \( v(2.5) \approx -0.0888 \) м/с.
11. \( E_k = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (-0.0888)^2 = 1 \cdot 0.00788544 \approx 0.0079 \) Дж.

Ответ: Кинетическая энергия груза на момент времени 2.5 с равна примерно 0.01 Дж.