Тело массой m под действием некоторой постоянной силы начинает двигаться из состояния покоя равноускоренно и, пройдя путь S, приобретает скорость v. Какую мощность развивает при этом сила?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулой кинетической энергии и формулой для работы силы.

1. Из формулы кинетической энергии \( E_k = \frac{1}{2}mv^2 \) мы знаем, что работа силы \( A \) равна изменению кинетической энергии: \( A = \Delta E_k = \frac{1}{2}mv^2 - 0 = \frac{1}{2}mv^2 \).
2. Работа силы также определяется как \( A = Fs \), где \( F \) — сила, а \( s \) — пройденный путь.
3. По второму закону Ньютона, \( F = ma \), где \( a \) — ускорение.
4. Для равноускоренного движения из состояния покоя справедлива формула \( v^2 = 2as \), откуда \( a = \frac{v^2}{2s} \).
5. Подставим \( a \) в формулу для силы: \( F = m \cdot \frac{v^2}{2s} \).
6. Теперь подставим \( F \) в формулу работы: \( A = \left(m \frac{v^2}{2s}\right) s = \frac{1}{2}mv^2 \). Это совпадает с нашим первым выражением для работы, что подтверждает правильность вывода.
7. Мощность \( N \) определяется как работа, совершённая за единицу времени: \( N = \frac{A}{t} \).
8. Из формулы скорости при равноускоренном движении \( v = at \), время \( t = \frac{v}{a} \).
9. Подставим \( a = \frac{v^2}{2s} \) в выражение для \( t \): \( t = \frac{v}{\frac{v^2}{2s}} = v \cdot \frac{2s}{v^2} = \frac{2s}{v} \).
10. Теперь подставим \( A \) и \( t \) в формулу мощности: \( N = \frac{\frac{1}{2}mv^2}{\frac{2s}{v}} = \frac{1}{2}mv^2 \cdot \frac{v}{2s} = \frac{mv^3}{4s} \).

Ответ: $$N = \frac{mv^3}{4S}$$