Тема. Числовые последовательности Контрольная работа Вариант 2 1. Найдите шестнадцатый член и сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии (ап), если a₁ = -10 И a2 = -7. 2. Найдите шестой член и сумму пяти первых членов геометрической прогрессии (bn), b₁ = -64, а знаменатель 9 = 1 2 3. Найдите сумму бесконечной геометрической 1 прогрессии 36, 20, 11, .... 9 4. Найдите номер члена арифметической прогрессии (ап), равного 10,9, если а₁ = 8,5, а разность прогрессии d = 0, 3. 5. Какие два числа надо вставить между числами 2,5 и 20, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию? 6*. При каком значении х значения выражений x + 1, х + 5 и 2х + 4 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

1. Арифметическая прогрессия

Дано: a₁ = -10, a₂ = -7

Найти: a₁₆, S₂₀

Решение:

• Найдём разность арифметической прогрессии: d = a₂ - a₁ = -7 - (-10) = 3
• Найдём шестнадцатый член прогрессии: a₁₆ = a₁ + 15d = -10 + 15 * 3 = -10 + 45 = 35
• Найдём сумму двадцати первых членов прогрессии: S₂₀ = (2a₁ + 19d) * 20 / 2 = (2 * (-10) + 19 * 3) * 10 = (-20 + 57) * 10 = 370

Ответ: a₁₆ = 35, S₂₀ = 370

2. Геометрическая прогрессия

Дано: b₁ = -64, q = 1/2

Найти: b₆, S₅

Решение:

• Найдём шестой член прогрессии: b₆ = b₁ * q⁵ = -64 * (1/2)⁵ = -64 * (1/32) = -2
• Найдём сумму пяти первых членов прогрессии: S₅ = b₁ * (1 - q⁵) / (1 - q) = -64 * (1 - (1/2)⁵) / (1 - 1/2) = -64 * (1 - 1/32) / (1/2) = -64 * (31/32) * 2 = -124

Ответ: b₆ = -2, S₅ = -124

3. Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Дано: 36, 20, 11 1/9, ...

Найти: S

Решение:

• Найдём знаменатель геометрической прогрессии: q = 20 / 36 = 5/9
• Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии: S = b₁ / (1 - q) = 36 / (1 - 5/9) = 36 / (4/9) = 36 * 9 / 4 = 81

Ответ: S = 81

4. Номер члена арифметической прогрессии

Дано: a₁ = 8.5, d = 0.3, aₙ = 10.9

Найти: n

Решение:

• Найдём номер члена прогрессии: aₙ = a₁ + (n - 1) * d 10.9 = 8.5 + (n - 1) * 0.3 2.4 = (n - 1) * 0.3 8 = n - 1 n = 9

Ответ: n = 9

5. Вставка двух чисел в геометрическую прогрессию

Дано: 2.5, ..., ..., 20

Найти: два числа между 2.5 и 20

Решение:

• Для геометрической прогрессии: b₁, b₂, b₃, b₄ b₁ = 2.5, b₄ = 20 b₄ = b₁ * q³ 20 = 2.5 * q³ q³ = 8 q = 2
• Найдём два числа: b₂ = b₁ * q = 2.5 * 2 = 5 b₃ = b₂ * q = 5 * 2 = 10

Ответ: 5 и 10

6*. Значение x для геометрической прогрессии

Дано: x + 1, x + 5, 2x + 4

Найти: x и члены прогрессии

Решение:

• Для геометрической прогрессии: (x + 5) / (x + 1) = (2x + 4) / (x + 5)
• (x + 5)² = (x + 1) * (2x + 4)
• x² + 10x + 25 = 2x² + 6x + 4
• x² - 4x - 21 = 0
• Решим квадратное уравнение:
• D = (-4)² - 4 * 1 * (-21) = 16 + 84 = 100
• x₁ = (4 + 10) / 2 = 7
• x₂ = (4 - 10) / 2 = -3

Проверим:

• Для x = 7: 8, 12, 18 (q = 1.5)
• Для x = -3: -2, 2, -2 (не является геометрической прогрессией)

Ответ: x = 7, члены прогрессии: 8, 12, 18