Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Тема. Числовые последовательности Вариант 2 1. Найдите шестнадцатый член и сумму тридцати первых членов арифметической прогрессии (an), если а₁ = 10иа₂ = 6. 2. Найдите шестой член и сумму пяти первых членов геометрической прогрессии (bn), b₁ = -64, a знаменатель 1 q=2 3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии -125, 25, -5, ... . 4. Найдите номер члена арифметической прогрессии (ат), равного 10,9, если а, = 8,5, a разность прогрессии d = 0, 3. 5. Какие два числа надо вставить между числами 2,5 и 20, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?
Ответ:
Краткое пояснение: Решаем задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии, используя формулы для n-го члена и суммы.
1. Арифметическая прогрессия
Дано: a₁ = 10, a₂ = 6. Найдем d, a₁₆ и S₃₀.
Логика такая:
- Находим разность арифметической прогрессии: d = a₂ - a₁
- Находим шестнадцатый член: a₁₆ = a₁ + 15d
- Находим сумму тридцати первых членов: S₃₀ = (2a₁ + 29d) * 30 / 2
Решение:
- d = 6 - 10 = -4
- a₁₆ = 10 + 15 * (-4) = 10 - 60 = -50
- S₃₀ = (2 * 10 + 29 * (-4)) * 30 / 2 = (20 - 116) * 15 = -96 * 15 = -1440
Ответ: a₁₆ = -50, S₃₀ = -1440
2. Геометрическая прогрессия
Дано: b₁ = -64, q = 1/2. Найдем b₆ и S₅.
Разбираемся:
- Находим шестой член: b₆ = b₁ * q⁵
- Находим сумму пяти первых членов: S₅ = b₁ * (1 - q⁵) / (1 - q)
Решение:
- b₆ = -64 * (1/2)⁵ = -64 * (1/32) = -2
- S₅ = -64 * (1 - (1/2)⁵) / (1 - 1/2) = -64 * (1 - 1/32) / (1/2) = -64 * (31/32) * 2 = -4 * 31 = -124
Ответ: b₆ = -2, S₅ = -124
3. Сумма бесконечной геометрической прогрессии
Дано: b₁ = -125, b₂ = 25, b₃ = -5. Найдем S.
Логика решения:
- Находим знаменатель: q = b₂ / b₁
- Проверяем |q| < 1, чтобы сумма существовала
- Находим сумму: S = b₁ / (1 - q)
Решение:
- q = 25 / (-125) = -1/5
- |-1/5| < 1, значит, сумма существует
- S = -125 / (1 - (-1/5)) = -125 / (6/5) = -125 * 5 / 6 = -625/6 = -104 1/6
Ответ: S = -625/6 = -104 1/6
4. Номер члена арифметической прогрессии
Дано: a₁ = 8.5, d = 0.3, aₙ = 10.9. Найдем n.
Смотри, тут всё просто:
- Используем формулу для n-го члена: aₙ = a₁ + (n - 1) * d
- Выражаем n: n = (aₙ - a₁) / d + 1
Решение:
- n = (10.9 - 8.5) / 0.3 + 1 = 2.4 / 0.3 + 1 = 8 + 1 = 9
Ответ: n = 9
5. Вставка чисел в геометрическую прогрессию
Дано: 2.5, x, y, 20. Найдем x и y.
Как это работает:
- Обозначим члены прогрессии: b₁ = 2.5, b₂ = x, b₃ = y, b₄ = 20
- Используем свойство геометрической прогрессии: b₄ = b₁ * q³
- Находим q: q = ³√(b₄ / b₁)
- Находим x и y: x = b₁ * q, y = b₁ * q²
Решение:
- q = ∛(20 / 2.5) = ∛(8) = 2
- x = 2.5 * 2 = 5
- y = 2.5 * 2² = 2.5 * 4 = 10
Ответ: x = 5, y = 10
