Тема: «Квадрат». 1) Сформулируй определение, свойства и признаки квадрата. 2) Реши задачи: а) Найди периметр квадрата ABCD. На рисунке диагональ AC равна 6, угол между AC и AD равен 60°. б) Один из углов ромба равен 90°. Докажи, что этот ромб является квадратом.

1) Определение, свойства и признаки квадрата

Определение: квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Также квадрат можно определить как ромб, у которого один угол прямой.

Свойства:

• все стороны равны;
• все углы прямые и равны \(90^\circ\);
• противоположные стороны параллельны;
• диагонали равны, перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и являются биссектрисами углов;
• диагональ со стороной образует угол \(45^\circ\).

Признаки: параллелограмм является квадратом, если он одновременно является прямоугольником и ромбом; если его диагонали равны и перпендикулярны; если он является ромбом с прямым углом.

2а) В условии рисунка указано \(AC=6\) и угол \(CAD=60^\circ\). Для квадрата диагональ образует со стороной угол \(45^\circ\), поэтому эти данные противоречат свойствам квадрата. Если же использовать указанную длину диагонали, то сторона квадрата \(a=\frac{AC}{\sqrt2}=3\sqrt2\), а периметр \(P=4a=12\sqrt2\). Угол на рисунке, вероятно, указан ошибочно: должен быть \(45^\circ\).

Ответ: при \(AC=6\) периметр квадрата равен \(12\sqrt2\).

2б) Пусть дан ромб \(ABCD\), и \(\angle A=90^\circ\). В ромбе противоположные углы равны, а соседние углы в сумме дают \(180^\circ\). Поэтому все углы ромба равны \(90^\circ\). Следовательно, ромб является одновременно прямоугольником. Так как у ромба все стороны равны, он удовлетворяет определению квадрата.

Ответ: ромб с одним прямым углом является квадратом.