Тема. Параллельные прямые а) На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки М и Н соответственно; ∠A = ∠BMH = 50°, ∠C = 60°. Найдите MHC. б) В треугольнике АВС ∠A = 50°, ∠C = 80°. Докажите, что биссектриса внешнего угла треугольника при вершине С лежит на прямой, параллельной прямой АВ. в) На одной стороне неразвернутого угла взяты точки А и С, на другой В и Д, так что АВ || CD. Точка М принадлежит отрезку AB; ∠MCA = ∠MCD, ∠MDC = ∠MDB. Докажите, что AB = AC + BD.

Решение:

а)

1. В треугольнике АВС: \( \angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ \).
2. Так как \( \angle BMH = 50^\circ \) и \( \angle A = 50^\circ \), то \( \angle A = \angle BMH \). Эти углы являются соответственными при прямых AB и MH и секущей AB. Следовательно, \( AB  ||   MH \).
3. \( \angle MHC \) является внешним углом треугольника AMH.
4. \( \angle AMH = 180^\circ - \angle BMH = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \) (как смежные углы).
5. В треугольнике AMH: \( \angle MAH = \angle A = 50^\circ \), \( \angle AMH = 130^\circ \).
6. \( \angle MHA = 180^\circ - 50^\circ - 130^\circ = 0^\circ \). Это противоречие, значит, условие \( \angle A = \angle BMH \) не может означать параллельность AB и MH.
7. Переформулируем: \( \angle A \) и \( \angle BMH \) — соответственные углы при прямых AB и MH и секущей AB. Если \( \angle A = \angle BMH \), то \( AB  ||   MH \).
8. \( \angle ABC = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ \).
9. \( \angle MBH = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \).
10. В треугольнике MBH: \( \angle BMH = 50^\circ \). \( \angle MBH = 110^\circ \).
11. \( \angle MHB = 180^\circ - 50^\circ - 110^\circ = 20^\circ \).
12. \( \angle MHC \) и \( \angle MHB \) — смежные углы.
13. \( \angle MHC = 180^\circ - \angle MHB = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ \).

Ответ: 160°.

б)

1. В треугольнике ABC \( \angle A = 50^\circ \), \( \angle C = 80^\circ \).
2. \( \angle B = 180^\circ - 50^\circ - 80^\circ = 50^\circ \).
3. Так как \( \angle A = \angle B = 50^\circ \), то треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC, следовательно, \( BC = AC \).
4. Рассмотрим внешний угол при вершине C. Обозначим точку на продолжении стороны BC за C как D. Тогда \( \angle ACD = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \).
5. Пусть CE — биссектриса внешнего угла при вершине C. Тогда \( \angle ACE = \angle ECD = \frac{1}{2} \angle ACD = \frac{1}{2} · 100^\circ = 50^\circ \).
6. Рассмотрим прямую CE и прямую AB. Их секущей является прямая BC.
7. \( \angle ECB = \angle ECD = 50^\circ \) (внешний угол).
8. \( \angle ABC = 50^\circ \) (как мы нашли ранее).
9. Следовательно, \( \angle ECB = \angle ABC = 50^\circ \).
10. Поскольку эти углы являются накрест лежащими при прямых CE и AB и секущей BC, то \( CE  ||   AB \).
11. Таким образом, биссектриса внешнего угла при вершине C лежит на прямой, параллельной прямой AB.

Доказано.

в)

1. Дано: \( AB  ||   CD \). Точка M принадлежит отрезку AB. \( \angle MCA = \angle MCD \) (CM — биссектриса \( \angle ACD \)). \( \angle MDC = \angle MDB \) (DM — биссектриса \( \angle CDB \)).
2. Доказать: \( AB = AC + BD \).
3. Так как \( AB  ||   CD \) и AC — секущая, то \( \angle MCA = \angle MAC \) (накрест лежащие углы).
4. По условию \( \angle MCA = \angle MCD \). Следовательно, \( \angle MAC = \angle MCD \).
5. Рассмотрим треугольник AMC. Так как \( \angle MAC = \angle MCD \), а \( \angle MCD = \angle MCA \) (накрест лежащие углы при \( AB  ||   CD \) и секущей AC), то \( \angle MAC = \angle MCA \).
6. Значит, треугольник AMC — равнобедренный с основанием AC, и \( AM = AC \).
7. Аналогично, так как \( AB  ||   CD \) и BD — секущая, то \( \angle MDB = \angle DBM \) (накрест лежащие углы).
8. По условию \( \angle MDB = \angle MDC \). Следовательно, \( \angle DBM = \angle MDC \).
9. Рассмотрим треугольник MBD. Так как \( \angle DBM = \angle MDB \), то треугольник MBD — равнобедренный с основанием MD, и \( MB = BD \).
10. Теперь рассмотрим отрезок AB. \( AB = AM + MB \).
11. Подставим полученные равенства: \( AB = AC + BD \).

Доказано.