Тема. Параллельные прямые а) Отрезки АВ и CD - диаметры некоторой окружности. До-кажите, что прямые АС и BD параллельны. 6) Точки В и D лежат по разные стороны от прямой АС. Известно, что АВ||DC, AD || BC. Докажите, что ∠ABC=∠ADC, AB=DC, AD-BC. в) На биссектрисе BD равнобедренного треугольника АВС взята точка Е. Через эту точку проведены прямые, параллельные сторонам АВ и ВС и пересекающие основание АС в точках Н и К. Докажите, что АН =КС.

Ответ: смотри решение

Решение:

a) Дано: Окружность, \(AB\) и \(CD\) - диаметры.

Доказать: \(AC \parallel BD\)

Доказательство:

1. \(AO = OB = CO = OD\) (радиусы).
2. \(\angle AOC = \angle BOD\) (вертикальные).
3. \(\triangle AOC = \triangle BOD\) (по двум сторонам и углу между ними).
4. \(\angle CAO = \angle DBO\).
5. \(\angle CAO\) и \(\angle DBO\) - накрест лежащие углы при прямых \(AC\) и \(BD\) и секущей \(AB\).
6. Следовательно, \(AC \parallel BD\).

б) Дано: \(AB \parallel DC, AD \parallel BC\).

Доказать: \(\angle ABC = \angle ADC, AB = DC, AD = BC\).

Доказательство:

1. Т.к. \(AB \parallel DC\) и \(AD \parallel BC\), то \(ABCD\) - параллелограмм.
2. В параллелограмме противоположные стороны равны: \(AB = DC, AD = BC\).
3. В параллелограмме противоположные углы равны: \(\angle ABC = \angle ADC\).

в) Дано: \(\triangle ABC\) - равнобедренный, \(BD\) - биссектриса, \(E \in BD\), \(EH \parallel AB, EK \parallel BC, H \in AC, K \in AC\).

Доказать: \(AH = KC\)

Доказательство:

1. Т.к. \(\triangle ABC\) - равнобедренный, то \(AB = BC, \angle BAC = \angle BCA\).
2. Т.к. \(BD\) - биссектриса, то \(\angle ABD = \angle DBC\).
3. Т.к. \(EH \parallel AB\), то \(\angle A = \angle CHE\) (соответственные углы).
4. Т.к. \(EK \parallel BC\), то \(\angle C = \angle AKE\) (соответственные углы).
5. Следовательно, \(\angle CHE = \angle AKE\).
6. \(\angle HEB = \angle ABD\) (соответственные углы).
7. \(\angle BEK = \angle DBC\) (соответственные углы).
8. Следовательно, \(\angle HEB = \angle BEK\).
9. Рассмотрим \(\triangle BEH\) и \(\triangle BEK\):
10. \(BE\) - общая сторона, \(\angle HEB = \angle BEK, \angle EHB = \angle EKB\).
11. Следовательно, \(\triangle BEH = \triangle BEK\) (по стороне и двум прилежащим углам).
12. \(EH = EK\).
13. Рассмотрим \(\triangle AHE\) и \(\triangle CKE\):
14. \(\angle A = \angle C, \angle CHE = \angle AKE, EH = EK\).
15. Следовательно, \(\triangle AHE = \triangle CKE\) (по стороне и двум прилежащим углам).
16. \(AH = KC\).

Ответ: смотри решение