Тема «Равнобедренный треугольник» (3 вариант) 1) Дано: Д АВС, M ∈ AC, N ∈ AC, Δ MBN – равнобедренный, MN – основание, AN = CM. Доказать: Δ ABC – равнобедренный.

Решение:

Дано: \( \Delta ABC \), \( M \in AC \), \( N \in AC \), \( \Delta MBN \) – равнобедренный, \( MN \) – основание, \( AN = CM \).

Доказать: \( \Delta ABC \) – равнобедренный.

Доказательство:

1. Рассмотрим \( \Delta MBN \). Так как \( \Delta MBN \) – равнобедренный и \( MN \) – его основание, то \( MB = NB \).
2. Рассмотрим \( \Delta AMB \) и \( \Delta CNB \).
3. У нас есть \( AN = CM \).
4. Прибавим \( MN \) к обеим частям равенства: \( AN + MN = CM + MN \).
5. Так как \( M \) и \( N \) лежат на стороне \( AC \), то \( AN + MN = AM \) и \( CM + MN = CN \).
6. Следовательно, \( AM = CN \).
7. Теперь рассмотрим \( \Delta AMB \) и \( \Delta CNB \).
8. У нас есть: \( AM = CN \) (по доказанному); \( \angle AMB = \angle CNB \) (как углы при основании равнобедренного \( \Delta MBN \), если рассматривать \( MN \) как основание, но это неверно, так как \( M, N \) на \( AC \) и \( MN \) - основание \( \Delta MBN \), значит \( MB = NB \) и \( \angle BMN = \angle BNM \) ); \( MB = NB \) (по свойству равнобедренного \( \Delta MBN \)).
9. Поэтому, \( \Delta AMB = \Delta CNB \) по трем сторонам (не подходит).
10. Давайте переформулируем: \( AM = CN \) (доказано), \( MB = NB \) (из условия, \( \Delta MBN \) равнобедренный с основанием \( MN \)), \( \angle AMB = \angle CNB \) (углы, смежные с равными углами \( \angle BMN = \angle BNM \), если \( AC \) — прямая, но \( \angle BMN \) и \( \angle BNM \) не смежны с углами \( \angle AMB \) и \( \angle CNB \) ).
11. Рассмотрим \( \angle AMB \) и \( \angle CNB \). Если \( M, N \) на \( AC \), то \( \angle AMB \) и \( \angle CNB \) — внешние углы для \( \Delta BMN \) при вершинах \( M \) и \( N \) соответственно, если \( B \) - вершина. Но \( MN \) - основание, значит \( \angle BMN = \angle BNM \).
12. У нас есть \( AN = CM \) и \( MN \) - основание \( \Delta MBN \). Отсюда \( MB = NB \).
13. Рассмотрим \( \Delta ABC \).
14. Мы знаем \( AM = CN \).
15. Теперь рассмотрим \( \angle AMB \) и \( \angle CNB \). Так как \( \angle BMN = \angle BNM \) (углы при основании равнобедренного \( \Delta MBN \) ), то \( \angle AMB = 180^ - \angle BMN \) и \( \angle CNB = 180^ - \angle BNM \) (как смежные углы).
16. Следовательно, \( \angle AMB = \angle CNB \).
17. Теперь рассмотрим \( \Delta AMB \) и \( \Delta CNB \).
18. У нас есть: \( AM = CN \) (доказано); \( MB = NB \) (дано); \( \angle AMB = \angle CNB \) (доказано).
19. Поэтому \( \Delta AMB = \Delta CNB \) по двум сторонам и углу между ними (СУС).
20. Из равенства треугольников следует, что \( AB = CB \).
21. Следовательно, \( \Delta ABC \) – равнобедренный.

Ответ: Доказано.