Тема. Равнобедренный треугольник. а) Найдите периметр треугольника, если два его угла равны, а две стороны имеют длины 20 см и 10 см. б) В треугольнике ABC ∠B = 100°, ∠A = 40°. Точка D принадлежит стороне AC. Причём угол BDC — тупой. Докажите, что AB > BD. в) В треугольнике MPK ∠M = 30°, ∠P = 100°. На стороне MP отмечена точка D так, что ∠DKP = 20°. Сравните отрезки MD и DP.

а) Так как два угла равны, треугольник равнобедренный, и две его стороны равны. Из данных длин равными сторонами не могут быть стороны по 10 см: тогда третья сторона 20 см, а сумма двух сторон равна 20 см, что не больше третьей стороны. Значит, равные стороны — по 20 см, а основание — 10 см.

Периметр: \(20+20+10=50\) см.

Ответ: 50 см.

б) В треугольнике ABC \(\angle C=180^\circ-100^\circ-40^\circ=40^\circ\). Поскольку D лежит на AC, \(\angle BCD=40^\circ\).

В треугольнике BCD угол BDC тупой, поэтому \(\angle CBD<50^\circ\), так как сумма двух остальных углов меньше \(90^\circ\), а угол BCD равен \(40^\circ\).

Точка D лежит внутри стороны AC, поэтому луч BD разделяет угол ABC: \(\angle ABD=100^\circ-\angle CBD>50^\circ\). Тогда в треугольнике ABD

\(\angle ADB=180^\circ-40^\circ-\angle ABD<100^\circ\), но также \(\angle ADB=140^\circ-\angle ABD>40^\circ\), поскольку \(\angle ABD<100^\circ\).

Следовательно, \(\angle ADB>\angle BAD\). В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, значит, \(AB>BD\).

в) В треугольнике MPK \(\angle K=180^\circ-30^\circ-100^\circ=50^\circ\). Так как D лежит на MP, \(\angle KPD=100^\circ\). В треугольнике KDP третий угол равен \(60^\circ\).

В треугольнике MKD угол K равен \(50^\circ-20^\circ=30^\circ\), а угол M равен \(30^\circ\). Поэтому противоположные им стороны равны: \(MD=KD\).

В треугольнике KDP сторона KD лежит против угла \(100^\circ\), а DP — против угла \(20^\circ\), поэтому \(KD>DP\). Следовательно, \(MD>DP\).

Ответ: \(MD>DP\).