Тема: «Ромб» 1. Сформулировать определение, свойства и признаки ромба (при затруднении обратись к Справочнику) 2. Решить задачи: а) Найти периметр ромба, если длина его меньшей диагонали равна 7см, а один из его углов равен 60°. б) Диагональ делит параллелограмм на два равносторонних треугольника. Доказать, что этот параллелограмм является ромбом, найдите его углы и угол, который образует его большая диагональ со сторонами.

1. Определение, свойства и признаки ромба

Определение: Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

• Все стороны равны.
• Противоположные углы равны.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
• Диагонали перпендикулярны друг другу.
• Диагонали являются биссектрисами углов ромба.

Признаки ромба:

• Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом.
• Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, является ромбом.
• Параллелограмм, у которого диагонали делят его углы пополам, является ромбом.

2. Решение задач:

а) Найти периметр ромба, если длина его меньшей диагонали равна 7см, а один из его углов равен 60°.

Дано:

Ромб ABCD, \( d_1 = AC = 7 \) см, \(
∠ A = 60^\circ \).

Найти:

Периметр ромба P.

Решение:

1. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Точка пересечения диагоналей — O.
2. В ромбе диагонали являются биссектрисами углов.
3. Рассмотрим треугольник ABC. \(
   ∠ BAC =
   ∠ DAC =
   ∠ A / 2 = 60^\circ / 2 = 30^\circ \).
4. Диагональ AC делит ромб на два равных треугольника.
5. Рассмотрим
   ∠ ABC. Так как
   ∠ A = 60^\(\circ\), то
   ∠ B = 180^\(\circ\) - 60^\(\circ\) = 120^\(\circ\).
6. В
   ∠ ABC, \(
   ∠ BAC = 30^\circ \), \(
   ∠ ABC = 120^\circ \). Сумма углов
   ∠ BAC +
   ∠ ABC = 30^\(\circ\) + 120^\(\circ\) = 150^\(\circ\).
7. Рассмотрим
   ∠ AOB. \(
   ∠ OAB = 30^\circ \), \(
   ∠ AOB = 90^\circ \). Тогда
   ∠ ABO = 180^\(\circ\) - 90^\(\circ\) - 30^\(\circ\) = 60^\(\circ\).
8. В
   ∠ AOB: \( AO = AC / 2 = 7 / 2 = 3.5 \) см.
9. Так как
   ∠ ABO = 60^\(\circ\), а
   ∠ BAC = 30^\(\circ\), то
   ∠ ABC = 120^\(\circ\).
10. В
    ∠ ABC: \(
    ∠ BAC = 30^\circ \). Диагональ AC = 7 см.
11. В
    ∠ ABC,
    ∠ B = 120^\(\circ\).
12. Рассмотрим
    ∠ ABC. \(
    ∠ BAC = 30^\circ \).
13. Если
    ∠ A = 60^\(\circ\), то
    ∠ ABC = 120^\(\circ\).
14. Диагональ AC = 7 см. \( AO = 3.5 \) см.
15. В
    ∠ AOB,
    ∠ OAB = 30^\(\circ\),
    ∠ AOB = 90^\(\circ\). \(
    ∠ ABO = 60^\circ \).
16. Сторона ромба AB = \( 2 \times AO = 2 \times 3.5 = 7 \) см.
17. Периметр ромба P = 4
    × AB = 4
    × 7 = 28 \) см.

б) Диагональ делит параллелограмм на два равносторонних треугольника. Доказать, что этот параллелограмм является ромбом, найдите его углы и угол, который образует его большая диагональ со сторонами.

Доказательство:

1. Пусть диагональ AC делит параллелограмм ABCD на два равносторонних треугольника ABC и ADC.
2. В равностороннем треугольнике ABC все стороны равны: \( AB = BC = AC \).
3. Поскольку ABCD — параллелограмм, то противоположные стороны равны: \( AB = CD \) и \( BC = AD \).
4. Следовательно, \( AB = BC = CD = AD \), то есть все стороны параллелограмма равны.
5. Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.

Нахождение углов:

1. Так как
   ∠ ABC является углом равностороннего треугольника, то
   ∠ ABC = 60°.
2. В параллелограмме (и, следовательно, в ромбе) сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
3. Следовательно,
   ∠ BAD = 180° -
   ∠ ABC = 180° - 60° = 120°.
4. Противоположные углы ромба равны, поэтому
   ∠ BCD =
   ∠ BAD = 120° и
   ∠ ADC =
   ∠ ABC = 60°.

Нахождение угла, который образует большая диагональ со сторонами:

1. Из условия,
   ∠ ABC = 60°. Следовательно, AC — меньшая диагональ, а BD — большая диагональ.
2. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Пусть точка пересечения диагоналей — O.
3. Рассмотрим
   ∠ ABD. В равностороннем
   ∠ ABC,
   ∠ BAC = 60°.
4. Диагональ BD делит угол
   ∠ ABC пополам, поэтому
   ∠ ABO =
   ∠ CBO = 60° / 2 = 30°.
5. Рассмотрим
   ∠ BAD = 120°. Диагональ AC делит угол
   ∠ BAD пополам, поэтому
   ∠ BAO =
   ∠ DAO = 120° / 2 = 60°.
6. В
   ∠ AOB:
   ∠ BAO = 60°,
   ∠ ABO = 30°.
7. Большая диагональ BD образует с большей стороной AB угол
   ∠ ABD = 30°.
8. Большая диагональ BD образует со стороной AD угол
   ∠ ADB. В
   ∠ AOD:
   ∠ DAO = 60°,
   ∠ AOD = 90°. Следовательно,
   ∠ ADO = 180° - 90° - 60° = 30°.

Ответ:

а) Периметр ромба равен 28 см.

б) Ромб является параллелограммом, у которого все стороны равны. Углы ромба равны 60° и 120°. Большая диагональ образует со сторонами углы 30° и 30°.