Тема: «Трапеция. Равнобедренная трапеция» 1. Сформулировать определение трапеции и свойства и признаки равнобедренной трапеции (при затруднении обратись к Справочнику ) 2. Решить задачи: а) Один из углов равнобедренной трапеции равен 115°. Найти остальные углы трапеции. б) В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием угол 15°. Найти углы трапеции.

1. Определение и свойства равнобедренной трапеции

Определение: Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.

Свойства:

• Углы при каждом основании равны.
• Диагонали равны.
• Высота, проведенная из вершины тупого угла к большему основанию, делит большее основание на два отрезка, из которых больший равен полусумме оснований.
• Сумма противоположных углов равна 180°.

Признаки:

• Трапеция, у которой углы при каждом основании равны, является равнобедренной.
• Трапеция, у которой диагонали равны, является равнобедренной.

2. Решение задач

а) Нахождение углов равнобедренной трапеции

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180°.

Дано, что один из углов равен 115°.

Случай 1: Дан тупой угол (115°).

Пусть угол при одном из оснований равен 115°. Тогда угол при том же основании равен 115°, а углы при другом основании равны: \( 180° - 115° = 65° \).

Случай 2: Дан острый угол.

Если бы тупой угол был 115°, то острый угол при другом основании был бы \( 180° - 115° = 65° \). Таким образом, углы трапеции составляют 115°, 115°, 65°, 65°.

Ответ: Углы трапеции равны 115°, 115°, 65°, 65°.

б) Нахождение углов равнобедренной трапеции, если диагональ перпендикулярна боковой стороне

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AB || CD, AD = BC. Диагональ AC ⊥ BC. Угол между диагональю AC и основанием CD равен 15° (∠ACD = 15°).

Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании CD равны, то есть ∠ADC = ∠BCD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (так как AC ⊥ BC, то ∠ACB = 90°).

В треугольнике ABC, ∠BAC + ∠ABC = 90°.

Углы при основании BC равны: ∠ABC = ∠BCD.

В прямоугольном треугольнике BCD, ∠CBD + ∠BDC = 90°.

Углы при основании CD равны, ∠ADC = ∠BCD.

В прямоугольном треугольнике ABC, ∠BAC = 90° - ∠ABC.

В трапеции ABCD, ∠BCD = ∠ABC.

По условию, AC ⊥ BC, значит ∠ACB = 90°.

В треугольнике BCD, ∠CBD + ∠CDB = 90°.

Углы при основании CD равны: ∠ADC = ∠BCD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC: ∠ACB = 90°.

Углы при основании BC равны: ∠ABC = ∠BCD.

В прямоугольном треугольнике ABC: ∠ABC + ∠BAC = 90°.

Диагонали равнобедренной трапеции равны: AC = BD.

Рассмотрим треугольник ABC, он прямоугольный, ∠ACB = 90°. Угол ∠ACD = 15°. Угол ∠BCD = ∠ACB + ∠ACD = 90° + 15° = 105°.

Поскольку трапеция равнобедренная, то углы при основании равны: ∠ADC = ∠BCD = 105°.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°. Значит, ∠ABC = ∠BAD = 180° - 105° = 75°.

Проверим: \( 105° + 105° + 75° + 75° = 210° + 150° = 360° \).

Ответ: Углы трапеции равны 75°, 75°, 105°, 105°.