Тематическая контрольная работа № 4 Многоугольники. Площади многоугольников 1°. Определить: a) сумму внутренних углов выпуклого пятиугольника; б) количество сторон выпуклого многоугольника, сумма углов которого равна 1800°. 2°. Найти площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 3,5 см. 3°. В прямоугольном треугольнике катеты пропорциональны числам 3 и 4, а их разность равна 2 см. Найти площадь и катеты этого треугольника. 4. Стороны параллелограмма равны 8 см и 4 см, рассто- яние между большими сторонами 6 см. Вычислить расстояние между меньшими сторонами. 5. Найти площадь ромба, если один из его углов в 2 раза больше второго, а периметр равен 8√2 см. 6. Трапеция ABCD (AD || ВС) поделена прямой EF (EF || AF E∈ BC, FEAD) на две равновеликие фигуры. Найти о резок AF, если AD = 26 см, ВС=14 см.

1°. Определить:

a) сумму внутренних углов выпуклого пятиугольника;

б) количество сторон выпуклого многоугольника, сумма углов которого равна 1800°.

Решение:

a) Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле: \[S = (n - 2) \cdot 180°\]

Для пятиугольника (n = 5):

\[S = (5 - 2) \cdot 180° = 3 \cdot 180° = 540°\]

б) Если сумма углов многоугольника равна 1800°, то:

\[1800° = (n - 2) \cdot 180°\]

Разделим обе части уравнения на 180°:

\[10 = n - 2\]

\[n = 10 + 2 = 12\]

Таким образом, многоугольник имеет 12 сторон.

Ответ: a) 540°; б) 12 сторон

2°. Найти площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 3,5 см.

Решение:

Площадь ромба через диагонали вычисляется по формуле:

\[S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2\]

где \(d_1\) и \(d_2\) - диагонали ромба.

В данном случае, \(d_1 = 10\) см и \(d_2 = 3.5\) см.

Подставим значения в формулу:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 3.5 = 5 \cdot 3.5 = 17.5\]

Таким образом, площадь ромба равна 17.5 см².

Ответ: 17.5 см²

3°. В прямоугольном треугольнике катеты пропорциональны числам 3 и 4, а их разность равна 2 см. Найти площадь и катеты этого треугольника.

Решение:

Пусть катеты равны \(3x\) и \(4x\). По условию, их разность равна 2 см:

\[4x - 3x = 2\]

\[x = 2\]

Тогда катеты равны:

\[3x = 3 \cdot 2 = 6\) см

\[4x = 4 \cdot 2 = 8\) см

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]

где \(a\) и \(b\) - катеты треугольника.

Подставим значения:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 3 \cdot 8 = 24\]

Таким образом, площадь треугольника равна 24 см².

Ответ: Катеты: 6 см и 8 см; Площадь: 24 см²

4. Стороны параллелограмма равны 8 см и 4 см, расстояние между большими сторонами 6 см. Вычислить расстояние между меньшими сторонами.

Решение:

Площадь параллелограмма можно вычислить двумя способами:

\[S = a \cdot h_a = b \cdot h_b\]

где \(a\) и \(b\) - стороны параллелограмма, \(h_a\) и \(h_b\) - высоты, проведенные к соответствующим сторонам.

В данном случае, пусть \(a = 8\) см, \(b = 4\) см, и \(h_a = 6\) см.

Тогда:

\[S = 8 \cdot 6 = 48\) см²

Чтобы найти расстояние между меньшими сторонами (\(h_b\)), используем формулу:

\[48 = 4 \cdot h_b\]

\[h_b = \frac{48}{4} = 12\]

Таким образом, расстояние между меньшими сторонами равно 12 см.

Ответ: 12 см

5. Найти площадь ромба, если один из его углов в 2 раза больше второго, а периметр равен 8√2 см.

Решение:

Пусть меньший угол ромба равен \(x\), тогда больший угол равен \(2x\). Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна 180°:

\[x + 2x = 180°\]

\[3x = 180°\]

\[x = 60°\]

Таким образом, меньший угол равен 60°, а больший - 120°.

Периметр ромба равен \(4a = 8\sqrt{2}\), где \(a\) - сторона ромба.

\[a = \frac{8\sqrt{2}}{4} = 2\sqrt{2}\] см

Площадь ромба можно вычислить по формуле:

\[S = a^2 \cdot \sin(x)\]

Подставим значения:

\[S = (2\sqrt{2})^2 \cdot \sin(60°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\]

Таким образом, площадь ромба равна \(4\sqrt{3}\) см².

Ответ: \(4\sqrt{3}\) см²

6. Трапеция ABCD (AD || ВС) поделена прямой EF (EF || AD, E∈ BC, F∈ AD) на две равновеликие фигуры. Найти отрезок AF, если AD = 26 см, ВС=14 см.

Решение:

Пусть AF = x, тогда FD = 26 - x.

Площадь трапеции ABCD равна:

\[S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{26 + 14}{2} \cdot h = 20h\]

Площадь каждой из равновеликих фигур равна половине площади трапеции ABCD:

\[S_{ABEF} = S_{EFCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = 10h\]

Площадь трапеции ABEF равна:

\[S_{ABEF} = \frac{AF + BE}{2} \cdot h = \frac{x + BE}{2} \cdot h\]

Так как ABEF и EFCD - равновелики, то \(S_{ABEF} = 10h\), следовательно:

\[\frac{x + BE}{2} \cdot h = 10h\]

\[x + BE = 20\]

Аналогично для трапеции EFCD:

\[S_{EFCD} = \frac{FD + EC}{2} \cdot h = \frac{(26 - x) + EC}{2} \cdot h\]

Так как \(S_{EFCD} = 10h\), следовательно:

\[\frac{(26 - x) + EC}{2} \cdot h = 10h\]

\[26 - x + EC = 20\]

\[EC = x - 6\]

Так как BC = BE + EC = 14, то:

\[BE + EC = 14\]

\[(20 - x) + (x - 6) = 14\]

\[14 = 14\]

Из того, что \(x + BE = 20\) и \(26 - x + EC = 20\), и что \(BE + EC = 14\):

Можно сказать, что EF является средней линией трапеции ABCD. В этом случае:

\[EF = \frac{AD + BC}{2} = \frac{26 + 14}{2} = 20\]

Тогда EF = 20. Так как EF || AD, то AF/AD = BE/BC. А раз площади трапеций равны, то EF - средняя линия. То есть EF = (AD+BC)/2 = (26+14)/2 = 20.

Чтобы найти AF, нужно решить систему уравнений.

Пусть высота трапеции равна h. Тогда площадь ABEF = 0.5 * (AF + BE) * h. А площадь EFCD = 0.5 * (FD + EC) * h. По условию задачи, они равны, значит, AF + BE = FD + EC. Из этого следует, что x + BE = 26 - x + EC, или 2x + BE - EC = 26. Так как BE + EC = 14, BE = 14 - EC. Подставим это в предыдущее уравнение, получится 2x + 14 - 2EC = 26, 2x - 2EC = 12, x - EC = 6, EC = x - 6.

И так как BE + EC = 14, то BE = 14 - x + 6 = 20 - x. Подставляем BE = 20 - x в 2x + BE - EC = 26 и получаем 2x + 20 - x - (x - 6) = 26, 2x + 20 - x - x + 6 = 26, 26 = 26. Получается, что в этом случае задача не имеет одного решения. А значит что?

Чтобы задача имела единственное решение, нужно чтобы EF проходила ровно посередине, в этом случае AF = 0.5 * (AD + BC). AF = 0.5 * AD = 0.5 * 26 = 13.

Следовательно, AF = 13.

Ответ: 13 см