Тематическое оценивание № 6 Тема. Арифметическая и геометрическая прогрессии 1°. Найти четырнадцатый член и сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии (ад), если а₁ = 2 и а₂ = 5. 2°. Найти пятый член и сумму четырех первых членов геометрической прогрессии (в), если b₁ = 1 27 и q = . 3°. Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии 28; -14; 7; .... 4. Найти номер члена арифметической прогрессии (а), равного 7,3, если а₁ = 10,3 и d = -0,5. 5. Между числами 2,5 и 20 вставить два таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовывали геометрическую прогрессию. 6%. Найти сумму всех натуральных чисел, больших 100 и меньших 200, которые кратны 6.

1. Арифметическая прогрессия

Дано: арифметическая прогрессия \[(a_n)\], \[a_1 = 2\] и \(a_2 = 5\).

Найти: \(a_{14}\) и \(S_{20}\).

Решение:

• Найдем разность арифметической прогрессии: \[d = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3\]
• Найдем четырнадцатый член: \[a_{14} = a_1 + 13d = 2 + 13 \cdot 3 = 2 + 39 = 41\]
• Найдем сумму первых двадцати членов: \[S_{20} = \frac{2a_1 + 19d}{2} \cdot 20 = \frac{2 \cdot 2 + 19 \cdot 3}{2} \cdot 20 = (4 + 57) \cdot 10 = 610\]

Ответ: \(a_{14} = 41\), \(S_{20} = 610\)

2. Геометрическая прогрессия

Дано: геометрическая прогрессия \[(b_n)\], \[b_1 = 27\] и \[q = \frac{1}{3}\].

Найти: \(b_5\) и \(S_4\)

Решение:

• Найдем пятый член: \[b_5 = b_1 \cdot q^4 = 27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 = 27 \cdot \frac{1}{81} = \frac{1}{3}\]
• Найдем сумму первых четырех членов: \[S_4 = \frac{b_1(1 - q^4)}{1 - q} = \frac{27(1 - (\frac{1}{3})^4)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{27(1 - \frac{1}{81})}{\frac{2}{3}} = \frac{27 \cdot \frac{80}{81}}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{80}{3}}{\frac{2}{3}} = 40\]

Ответ: \(b_5 = \frac{1}{3}\), \(S_4 = 40\)

3. Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Дано: бесконечная геометрическая прогрессия: 28; -14; 7; ...

Найти: S

Решение:

• Найдем первый член: \[b_1 = 28\]
• Найдем знаменатель: \[q = \frac{-14}{28} = -\frac{1}{2}\]
• Найдем сумму: \[S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{28}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{28}{\frac{3}{2}} = \frac{56}{3}\]

Ответ: \[S = \frac{56}{3}\]

4. Номер члена арифметической прогрессии

Дано: арифметическая прогрессия, \(a_1 = 10.3\), \(d = -0.5\), \(a_n = 7.3\)

Найти: n

Решение:

• Используем формулу общего члена арифметической прогрессии: \[a_n = a_1 + (n - 1)d\]
• Подставим известные значения: \[7.3 = 10.3 + (n - 1)(-0.5)\]
• Решим уравнение относительно n: \[7.3 - 10.3 = -0.5(n - 1)\] \[-3 = -0.5(n - 1)\] \[6 = n - 1\] \[n = 7\]

Ответ: n = 7

5. Вставить числа между 2,5 и 20

Дано: числа 2,5 и 20.

Найти: два числа, чтобы вместе с данными образовали геометрическую прогрессию.

Решение:

Пусть числа \[b_1 = 2.5\) и \(b_4 = 20\). Нужно найти \(b_2\) и \(b_3\).

• Найдем знаменатель геометрической прогрессии: \[b_4 = b_1 \cdot q^3\] \[20 = 2.5 \cdot q^3\] \[q^3 = 8\] \[q = 2\]
• Найдем \(b_2\) и \(b_3\): \[b_2 = b_1 \cdot q = 2.5 \cdot 2 = 5\] \[b_3 = b_2 \cdot q = 5 \cdot 2 = 10\]

Ответ: 5 и 10

6. Сумма натуральных чисел кратных 6

Найти: сумму всех натуральных чисел, больших 100 и меньших 200, которые кратны 6.

Решение:

• Первое число, большее 100 и кратное 6: \[a_1 = 102\]
• Последнее число, меньшее 200 и кратное 6: \[a_n = 198\]
• Найдем количество членов этой арифметической прогрессии: \[a_n = a_1 + (n - 1)d\], где \[d = 6\] \[198 = 102 + (n - 1)6\] \[96 = (n - 1)6\] \[16 = n - 1\] \[n = 17\]
• Найдем сумму: \[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{102 + 198}{2} \cdot 17 = \frac{300}{2} \cdot 17 = 150 \cdot 17 = 2550\]

Ответ: 2550