Тематика. 6 класс. Вариант 1. Часть 2 Алла загадала число. Она сказала: «Если моё число разделить на 13, то остаток будет в 2 раза меньше, чем частное». Какое число загадала Алла, если известно, что загаданное число больше 90, но меньше 120? Решение.

Пошаговое решение:

1. Обозначим неизвестные: Пусть загаданное число равно \( N \). Пусть частное от деления \( N \) на 13 равно \( q \), а остаток равен \( r \).
2. Запишем условие задачи в виде математического равенства: Согласно определению деления с остатком, \( N = 13q + r \), где \( 0 \le r < 13 \).
3. Используем данные из условия: Нам дано, что остаток \( r \) в 2 раза меньше частного \( q \), то есть \( r = q/2 \).
4. Подставим зависимость остатка от частного в основное уравнение: \( N = 13q + q/2 \).
5. Учтем условие на остаток: Так как \( r = q/2 \) и \( r < 13 \), то \( q/2 < 13 \), откуда \( q < 26 \). Также, так как \( r \) - это остаток от деления, он должен быть целым числом. Следовательно, \( q \) должно быть четным числом.
6. Рассмотрим возможное значение \( N \) в заданном диапазоне: Известно, что \( 90 < N < 120 \).
7. Подберем значение \( q \), удовлетворяющее всем условиям: Нам нужно найти такое четное \( q < 26 \), чтобы \( N = 13q + q/2 \) попадало в диапазон от 91 до 119.
8. Проверим значения \( q \):
   • Если \( q = 24 \) (четное, < 26), то \( r = 24/2 = 12 \). \( N = 13 · 24 + 12 = 312 + 12 = 324 \). Это число больше 120.
   • Если \( q = 22 \) (четное, < 26), то \( r = 22/2 = 11 \). \( N = 13 · 22 + 11 = 286 + 11 = 297 \). Это число больше 120.
   • Если \( q = 20 \) (четное, < 26), то \( r = 20/2 = 10 \). \( N = 13 · 20 + 10 = 260 + 10 = 270 \). Это число больше 120.
   • Если \( q = 18 \) (четное, < 26), то \( r = 18/2 = 9 \). \( N = 13 · 18 + 9 = 234 + 9 = 243 \). Это число больше 120.
   • Если \( q = 16 \) (четное, < 26), то \( r = 16/2 = 8 \). \( N = 13 · 16 + 8 = 208 + 8 = 216 \). Это число больше 120.
   • Если \( q = 14 \) (четное, < 26), то \( r = 14/2 = 7 \). \( N = 13 · 14 + 7 = 182 + 7 = 189 \). Это число больше 120.
   • Если \( q = 12 \) (четное, < 26), то \( r = 12/2 = 6 \). \( N = 13 · 12 + 6 = 156 + 6 = 162 \). Это число больше 120.
   • Если \( q = 10 \) (четное, < 26), то \( r = 10/2 = 5 \). \( N = 13 · 10 + 5 = 130 + 5 = 135 \). Это число больше 120.
   • Если \( q = 8 \) (четное, < 26), то \( r = 8/2 = 4 \). \( N = 13 · 8 + 4 = 104 + 4 = 108 \). Это число находится в диапазоне (90, 120).
9. Проверка: Загаданное число 108. Разделим его на 13: \( 108 : 13 = 8 \) (частное) с остатком \( 4 \). Остаток 4 в 2 раза меньше частного 8. Число 108 больше 90 и меньше 120. Условие выполнено.

Ответ: 108