Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаТема Вариант І Контрольная работа № 5 1. Найдите площадь параллелограмма, если одна из его сторон равна 13 дм, а высота, проведённая к этой стороне, 9 дм. 2. Катет прямоугольного треугольника равен 8 см, а угол, прилежащий к этому катету, 60°. Найдите площадь треугольника. 3. В трапеции ABCD с основаниями AD = 15 м и ВС = 12 м проведена диагональ BD. Пло- щадь треугольника АBD равна 30 м². Най- дите площадь трапеции. 1. Найдите площадь параллелограмма, если его стороны равны 5√3 м и 4 м, а угол меж- ду ними - 60°. 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 6 дм, а один из острых углов - 30°. Найдите площадь треугольника. Вариант II 3. В трапеции ABCD с основаниями AD = 11 см и ВС = 7 см проведён отрезок ВМ (M∈ AD), параллельный стороне CD. Площадь парал- лелограмма BCDM равна 35 см². Найдите площадь трапеции.
Ответ:
Вариант I
Задача 1
Площадь параллелограмма равна произведению длины стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
\[S = a \cdot h\]
В данном случае:
\[a = 13 \text{ дм}, h = 9 \text{ дм}\]
Тогда площадь параллелограмма равна:
\[S = 13 \cdot 9 = 117 \text{ дм}^2\]
Ответ: 117 дм²
Задача 2
Площадь прямоугольного треугольника можно найти, зная катет и прилежащий угол.
\[S = \frac{1}{2} a^2 \cdot \tan(\alpha)\]
В данном случае:
\[a = 8 \text{ см}, \alpha = 60^\circ\]
Тогда площадь треугольника равна:
\[S = \frac{1}{2} \cdot 8^2 \cdot \tan(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \sqrt{3} = 32\sqrt{3} \text{ см}^2\]
Ответ: 32√3 см²
Задача 3
Дано: трапеция ABCD, AD = 15 м, BC = 12 м, площадь треугольника ABD = 30 м².
Найти: площадь трапеции ABCD.
Решение:
Площадь трапеции можно найти по формуле:
\[S_{ABCD} = \frac{1}{2} (AD + BC) \cdot h\]
Сначала найдем высоту трапеции из площади треугольника ABD:
\[S_{ABD} = \frac{1}{2} AD \cdot h\]
\[30 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot h\]
\[h = \frac{30 \cdot 2}{15} = 4 \text{ м}\]
Теперь найдем площадь трапеции:
\[S_{ABCD} = \frac{1}{2} (15 + 12) \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 27 \cdot 4 = 54 \text{ м}^2\]
Ответ: 54 м²
Вариант II
Задача 1
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон на синус угла между ними.
\[S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)\]
В данном случае:
\[a = 5\sqrt{3} \text{ м}, b = 4 \text{ м}, \alpha = 60^\circ\]
Тогда площадь параллелограмма равна:
\[S = 5\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \sin(60^\circ) = 5\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20 \cdot \frac{3}{2} = 30 \text{ м}^2\]
Ответ: 30 м²
Задача 2
Площадь прямоугольного треугольника можно найти, зная гипотенузу и один из острых углов.
Пусть гипотенуза равна c, а острый угол равен α.
Тогда катет, прилежащий к углу α, равен:
\[b = c \cdot \cos(\alpha)\]
А катет, противолежащий углу α, равен:
\[a = c \cdot \sin(\alpha)\]
Площадь треугольника равна:
\[S = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} c^2 \cdot \sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha)\]
В данном случае:
\[c = 6 \text{ дм}, \alpha = 30^\circ\]
Тогда площадь треугольника равна:
\[S = \frac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \sin(30^\circ) \cdot \cos(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{36 \sqrt{3}}{8} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \text{ дм}^2\]
Ответ: (9√3)/2 дм²
Задача 3
Дано: трапеция ABCD, AD = 11 см, BC = 7 см, BCDM - параллелограмм, площадь BCDM = 35 см².
Найти: площадь трапеции ABCD.
Решение:
Площадь трапеции равна сумме площадей параллелограмма BCDM и треугольника ABM.
\[S_{ABCD} = S_{BCDM} + S_{ABM}\]
Площадь параллелограмма BCDM известна: 35 см².
Найдем площадь треугольника ABM.
Основание AM = AD - MD = AD - BC = 11 - 7 = 4 см.
Высота треугольника ABM равна высоте параллелограмма BCDM.
Найдем высоту параллелограмма BCDM:
\[S_{BCDM} = BC \cdot h\]
\[35 = 7 \cdot h\]
\[h = \frac{35}{7} = 5 \text{ см}\]
Теперь найдем площадь треугольника ABM:
\[S_{ABM} = \frac{1}{2} AM \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 = 10 \text{ см}^2\]
Тогда площадь трапеции ABCD равна:
\[S_{ABCD} = 35 + 10 = 45 \text{ см}^2\]
Ответ: 45 см²
