Теорема 1. Чтобы извлечь корень n-й степени из корня k-й степени из числа a, достаточно извлечь корень nk-й степени из этого числа: \(\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}\). Доказательство.

Используем определение корня через степень:

\[\sqrt[k]{a}=a^{\frac{1}{k}}.\]

Тогда

\[\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\left(a^{\frac{1}{k}}\right)^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{1}{kn}}=\sqrt[kn]{a}.\]

Следовательно,

\[\boxed{\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}}.\]

Теорема доказана.