Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд. Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Дано: АВ и CD — хорды, AB ∩ CD = E. Доказать: AE · BE = CE · DE. Доказательство:

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд

Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Дано: АВ и CD — хорды, AB ∩ CD = E

Доказать: AE · BE = CE · DE

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рассмотрим треугольники ΔCBE и ΔADE.
2. Шаг 2: Углы ∠CEB и ∠AED являются вертикальными, поэтому они равны.
3. Шаг 3: Углы ∠CAB и ∠CDB опираются на одну и ту же дугу CB, следовательно, они равны.
4. Шаг 4: Углы ∠ACD и ∠ABD опираются на одну и ту же дугу AD, следовательно, они равны.
5. Шаг 5: Так как два угла треугольника ΔCBE равны двум углам треугольника ΔADE, то эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).
6. Шаг 6: Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:
   $$\frac{AE}{CE} = \frac{BE}{DE} = \frac{AB}{CD}$$
7. Шаг 7: Рассмотрим пропорцию $$\frac{AE}{CE} = \frac{BE}{DE}$$.
8. Шаг 8: Умножим обе части пропорции на CE · DE, чтобы получить искомое равенство:
   $$AE \cdot DE = CE \cdot BE$$
9. Шаг 9: Перепишем равенство в требуемом виде:
   $$AE \cdot BE = CE \cdot DE$$

Теорема доказана.