2. Теорема об окружности, вписанной в треугольник.

Теорема об окружности, вписанной в треугольник

• Формулировка: Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис его углов.
• Доказательство:
  • Пусть дан треугольник \[ABC\].
  • Окружность вписана в этот треугольник, касаясь сторон \[AB\] в точке \[M\], \[BC\] в точке \[N\] и \[CA\] в точке \[P\].
  • Пусть \[O\] - центр вписанной окружности.
  • Тогда \[OM \perp AB\], \[ON \perp BC\] и \[OP \perp CA\] как радиусы, проведенные в точки касания.
  • \[OM = ON = OP = r\] (радиус вписанной окружности).
  • Рассмотрим биссектрису угла \[B\]. Точка \[O\] лежит на этой биссектрисе, так как она равноудалена от сторон угла \[B\].
  • Аналогично, точка \[O\] лежит на биссектрисах углов \[A\] и \[C\].
  • Следовательно, центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника.
• Применение: Теорема используется для нахождения центра вписанной окружности и решения задач, связанных с треугольниками и окружностями.