Теорема. Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого, то такие треугольники равны. Доказательство первого признака равенства треугольников. Дано: ΔABC и ΔMNP, AB = MN, AC = MP, ∠A = ∠M. Доказать: ΔABC = ΔMNP. Доказательство. 1) По условию ∠A = ∠M, поэтому треугольник ABC можно наложить на треугольник MNP так, что вершина A совместится с вершиной M, а стороны AB и AC наложатся соответственно на лучи MN и MP. 2) По условию AB = MN, AC = MP, следовательно, сторона AB совместится со стороной MN, а сторона AC — со стороной MP. Значит, совместятся точки B и N, C и P. Поэтому совместятся стороны BC и NP. 3) Итак, треугольники ABC и MNP полностью совместятся, значит, ΔABC = ΔMNP. Теорема доказана.

Теорема. Первый признак равенства треугольников

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого, то такие треугольники равны.

Доказательство первого признака равенства треугольников

Дано: ΔABC и ΔMNP, AB = MN, AC = MP, ∠A = ∠M.

Доказать: ΔABC = ΔMNP.

Доказательство.

1) По условию ∠A = ∠M, поэтому треугольник ABC можно наложить на треугольник MNP так, что вершина A совместится с вершиной M, а стороны AB и AC наложатся соответственно на лучи MN и MP.

2) По условию AB = MN, AC = MP, следовательно, сторона AB совместится со стороной MN, а сторона AC — со стороной MP. Значит, совместятся точки B и N, C и P. Поэтому совместятся стороны BC и NP.

3) Итак, треугольники ABC и MNP полностью совместятся, значит, ΔABC = ΔMNP.

Теорема доказана.