«Теорема Пифагора» Вариант 1 1. Найдите гипотенузу, если катеты равны 2см и 5 см 2. Найдите катет, если гипотенуза равна 8см, а второй катет равен 3см 3. Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 6см и 8см 4. Найдите диагональ прямоугольника со сторонами 5см и 4см 5. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если боковая сторона равна 7см, а основание 6. Найдите высоту равнобокой трапеции с основаниями 6см и 14см, если боковая сторона равна 5см

Решение задач по теореме Пифагора.

1. Найдите гипотенузу, если катеты равны 2 см и 5 см.

   По теореме Пифагора: $$c^2 = a^2 + b^2$$, где $$c$$ - гипотенуза, $$a$$ и $$b$$ - катеты.

   $$c^2 = 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29$$

   $$c = \sqrt{29}$$

   $$c \approx 5.39 \text{ см}$$

   Ответ: $$\approx 5.39 \text{ см}$$

2. Найдите катет, если гипотенуза равна 8 см, а второй катет равен 3 см.

   $$a^2 = c^2 - b^2$$, где $$a$$ - искомый катет, $$c$$ - гипотенуза, $$b$$ - второй катет.

   $$a^2 = 8^2 - 3^2 = 64 - 9 = 55$$

   $$a = \sqrt{55}$$

   $$a \approx 7.42 \text{ см}$$

   Ответ: $$\approx 7.42 \text{ см}$$

3. Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 6 см и 8 см.

   Стороны ромба равны, диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам в точке пересечения.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба.

   Половины диагоналей равны 3 см и 4 см. Сторона ромба $$a$$ является гипотенузой этого треугольника.

   $$a^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$

   $$a = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$$

   Ответ: $$5 \text{ см}$$

4. Найдите диагональ прямоугольника со сторонами 5 см и 4 см.

   Диагональ прямоугольника является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного сторонами прямоугольника.

   $$d^2 = 5^2 + 4^2 = 25 + 16 = 41$$

   $$d = \sqrt{41}$$

   $$d \approx 6.40 \text{ см}$$

   Ответ: $$\approx 6.40 \text{ см}$$

5. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если боковая сторона равна 7 см, а основание – 4 см.

   Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также медианой.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной основания и боковой стороной.

   Половина основания: $$\frac{4}{2} = 2 \text{ см}$$.

   $$h^2 = 7^2 - 2^2 = 49 - 4 = 45$$

   $$h = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6.71 \text{ см}$$

   Площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5} \approx 13.42 \text{ см}^2$$

   Ответ: $$\approx 13.42 \text{ см}^2$$

6. Найдите высоту равнобокой трапеции с основаниями 6 см и 14 см, если боковая сторона равна 5 см.

   Опустим высоту из вершины меньшего основания на большее основание. Образуется прямоугольный треугольник, где гипотенуза равна боковой стороне (5 см), а один из катетов - высота.

   Второй катет равен полуразности оснований: $$\frac{14 - 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ см}$$

   $$h^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$$

   $$h = \sqrt{9} = 3 \text{ см}$$

   Ответ: $$3 \text{ см}$$