Теорема синусов и косинусов. Найти x: 1) в треугольнике MNP: MN = 4, MP = 5√3, ∠M = 30°, NP = x; 2) в треугольнике ABC: AB = 3, BC = 8, ∠BAC = 60°, AC = x; 3) в треугольнике ABC: AB = 19, BC = 5, AC = 21, ∠ACB = x; 4) в треугольнике PQR: ∠Q = 75°, ∠R = 45°, QR = 1 дм, PQ = x.

1. По теореме косинусов:

   \(x^2=4^2+(5\sqrt{3})^2-2\cdot4\cdot5\sqrt{3}\cdot\cos30^\circ=16+75-60=31.\)

   Так как длина положительна, \(x=\sqrt{31}\).

2. По теореме косинусов в треугольнике ABC:

   \(8^2=3^2+x^2-2\cdot3x\cdot\cos60^\circ\), откуда \(x^2-3x-55=0\).

   Решая квадратное уравнение, получаем \(x=\frac{3\pm\sqrt{229}}{2}\). Отрицательное значение не подходит для длины, поэтому \(x=\frac{3+\sqrt{229}}{2}\).

3. По теореме косинусов для угла C:

   \(\cos x=\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2\cdot AC\cdot BC}=\frac{21^2+5^2-19^2}{2\cdot21\cdot5}=\frac12.\)

   Следовательно, \(x=60^\circ\).

4. Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому \(\angle P=180^\circ-75^\circ-45^\circ=60^\circ\).

   По теореме синусов: \(\frac{x}{\sin45^\circ}=\frac{1}{\sin60^\circ}\), значит \(x=\frac{\sin45^\circ}{\sin60^\circ}=\frac{\sqrt{6}}{3}\) дм.

Ответ: 1) \(\sqrt{31}\); 2) \(\frac{3+\sqrt{229}}{2}\); 3) \(60^\circ\); 4) \(\frac{\sqrt{6}}{3}\) дм.