Теплоход проходит некоторое расстояние по течению реки за 2 ч., а против течения - за 3 ч. За сколько часов это же расстояние проплывёт плот?

Решение:

Пусть \( S \) — расстояние, \( v_{тх} \) — скорость теплохода в стоячей воде, \( v_{р} \) — скорость течения реки.

Скорость теплохода по течению: \( v_{тх} + v_{р} \).
Скорость теплохода против течения: \( v_{тх} - v_{р} \>.

Расстояние, пройденное по течению: \( S = (v_{тх} + v_{р}) \times 2 \).
Расстояние, пройденное против течения: \( S = (v_{тх} - v_{р}) \times 3 \>.

Приравняем расстояния:

\[ (v_{тх} + v_{р}) \times 2 = (v_{тх} - v_{р}) \times 3 \]

Раскроем скобки:

\[ 2v_{тх} + 2v_{р} = 3v_{тх} - 3v_{р} \]

Сгруппируем члены с \( v_{тх} \) и \( v_{р} \):

\[ 2v_{р} + 3v_{р} = 3v_{тх} - 2v_{тх} \]

\[ 5v_{р} = v_{тх} \]

Это значит, что скорость теплохода в стоячей воде в 5 раз больше скорости течения реки.

Скорость плота равна скорости течения реки: \( v_{плот} = v_{р} \).

Теперь найдём время, за которое плот проплывёт то же расстояние \( S \). Возьмём расстояние, которое теплоход проходит по течению:

\[ S = (v_{тх} + v_{р}) \times 2 \]

Подставим \( v_{тх} = 5v_{р} \):

\[ S = (5v_{р} + v_{р}) \times 2 = 6v_{р} \times 2 = 12v_{р} \]

Время, за которое плот проплывёт расстояние \( S \):

\[ t_{плот} = \frac{S}{v_{плот}} = \frac{12v_{р}}{v_{р}} = 12 \text{ ч.} \]

Ответ: 12 часов.