Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 132 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 21 час, а в пункт отправления теплоход возвращается через 32 часа после отплытия из него.

Решение:

1. Обозначим скорость теплохода в неподвижной воде как \( v \) км/ч.
2. Скорость теплохода по течению: \( v + 5 \) км/ч.
3. Скорость теплохода против течения: \( v - 5 \) км/ч.
4. Время движения по течению: \( t_1 = \frac{132}{v+5} \) часов.
5. Время движения против течения: \( t_2 = \frac{132}{v-5} \) часов.
6. Общее время в пути с учетом стоянки: \( t_1 + t_2 + 21 = 32 \) часа.
7. Упростим уравнение: \( \frac{132}{v+5} + \frac{132}{v-5} = 32 - 21 \)
8. \( \frac{132}{v+5} + \frac{132}{v-5} = 11 \)
9. Разделим обе части на 11: \( \frac{12}{v+5} + \frac{12}{v-5} = 1 \)
10. Приведем к общему знаменателю: \( \frac{12(v-5) + 12(v+5)}{(v+5)(v-5)} = 1 \)
11. \( \frac{12v - 60 + 12v + 60}{v^2 - 25} = 1 \)
12. \( \frac{24v}{v^2 - 25} = 1 \)
13. \( 24v = v^2 - 25 \)
14. \( v^2 - 24v - 25 = 0 \)
15. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676 \). \( \sqrt{D} = 26 \).
16. Корни уравнения: \( v_1 = \frac{24 + 26}{2} = \frac{50}{2} = 25 \) и \( v_2 = \frac{24 - 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \).
17. Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( v = 25 \) км/ч.

Ответ: 25 км/ч.