Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 140 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 11 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 32 часа после отплытия из него.

Решение:

1. Пусть \( v \) — собственная скорость теплохода (км/ч), \( u = 5 \) км/ч — скорость течения.
2. Скорость теплохода по течению: \( v + 5 \) км/ч.
3. Скорость теплохода против течения: \( v - 5 \) км/ч.
4. Время в пути по течению: \( t_1 = \frac{140}{v+5} \) часов.
5. Время в пути против течения: \( t_2 = \frac{140}{v-5} \) часов.
6. Общее время в пути (без учёта стоянки): \( t_{общ} = 32 - 11 = 21 \) час.
7. Составим уравнение: \( t_1 + t_2 = 21 \)
8. \( \frac{140}{v+5} + \frac{140}{v-5} = 21 \)
9. Разделим обе части на 7: \( \frac{20}{v+5} + \frac{20}{v-5} = 3 \)
10. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{20(v-5) + 20(v+5)}{(v+5)(v-5)} = 3 \)
11. \( \frac{20v - 100 + 20v + 100}{v^2 - 25} = 3 \)
12. \( \frac{40v}{v^2 - 25} = 3 \)
13. \( 40v = 3(v^2 - 25) \)
14. \( 40v = 3v^2 - 75 \)
15. \( 3v^2 - 40v - 75 = 0 \)
16. Решим квадратное уравнение: \( D = (-40)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-75) = 1600 + 900 = 2500 \)
17. \( \sqrt{D} = 50 \)
18. \( v = \frac{40 \pm 50}{2 \cdot 3} \)
19. \( v_1 = \frac{40 + 50}{6} = \frac{90}{6} = 15 \)
20. \( v_2 = \frac{40 - 50}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} \) (отрицательную скорость не рассматриваем).

Ответ: 15