Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 165 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 26 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 18 часов после отплытия из него.

Решение:

Пусть \( v_{т} \) — скорость теплохода в неподвижной воде, \( v_{т} = 26 \) км/ч.

Пусть \( v_{с} \) — скорость течения реки.

Скорость теплохода по течению: \( v_{по} = v_{т} + v_{с} = 26 + v_{с} \) км/ч.

Скорость теплохода против течения: \( v_{против} = v_{т} - v_{с} = 26 - v_{с} \) км/ч.

Расстояние до пункта назначения: \( S = 165 \) км.

Время в пути по течению: \( t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{165}{26 + v_{с}} \) часов.

Время в пути против течения: \( t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{165}{26 - v_{с}} \) часов.

Общее время в пути (без учёта стоянки) равно 18 часов - 5 часов (стоянка) = 13 часов.

\( t_{по} + t_{против} = 13 \)

\( \frac{165}{26 + v_{с}} + \frac{165}{26 - v_{с}} = 13 \)

Разделим обе части уравнения на 13:

\( \frac{165}{13 \cdot (26 + v_{с})} + \frac{165}{13 \cdot (26 - v_{с})} = 1 \)

\( \frac{12.69}{26 + v_{с}} + \frac{12.69}{26 - v_{с}} = 1 \) (Приблизительно, лучше не делить сразу)

Приведём к общему знаменателю:

\( 165(26 - v_{с}) + 165(26 + v_{с}) = 13(26 + v_{с})(26 - v_{с}) \)

\( 165 × 26 - 165v_{с} + 165 × 26 + 165v_{с} = 13(26^2 - v_{с}^2) \)

\( 2 × 165 × 26 = 13(676 - v_{с}^2) \)

\( 330 × 26 = 13(676 - v_{с}^2) \)

\( 8580 = 13(676 - v_{с}^2) \)

Разделим обе части на 13:

\( \frac{8580}{13} = 676 - v_{с}^2 \)

\( 660 = 676 - v_{с}^2 \)

\( v_{с}^2 = 676 - 660 \)

\( v_{с}^2 = 16 \)

\( v_{с} = \sqrt{16} \) (скорость не может быть отрицательной)

\( v_{с} = 4 \) км/ч.

Ответ: 4 км/ч