Теплоизолированный цилиндр разделён подвижным теплопроводящим поршнем на две части. В одной части цилиндра находится гелий, а в другой — аргон. В начальный момент температура гелия равна 300 К, а аргона — 900 К, объём занимаемые газами, одинаковы, а поршень находится в равновесии. Во сколько раз изменится объём, занимаемый гелием, после установления теплового равновесия, если поршень перемещается без трения? Теплоёмкостью цилиндра и поршня пренебречь.

Решение:

Эта задача относится к разделу термодинамики и требует применения закона идеального газа и принципа теплового равновесия.

1. Начальное состояние:
• Температура гелия: $$T_{He} = 300K$$
• Температура аргона: $$T_{Ar} = 900K$$
• Объём гелия равен объёму аргона: $$V_{He1} = V_{Ar1}$$
• Поршень находится в равновесии.
2. Конечное состояние (тепловое равновесие):
• Температура гелия равна температуре аргона: $$T_{He2} = T_{Ar2} = T_{равн}$$
• Так как поршень теплопроводящий и перемещается без трения, в конечном состоянии давления газов будут равны: $$P_{He2} = P_{Ar2}$$.
3. Применение закона идеального газа:
• Для гелия: $$P_{He1}V_{He1} = n_{He}RT_{He1}$$ и $$P_{He2}V_{He2} = n_{He}RT_{He2}$$
• Для аргона: $$P_{Ar1}V_{Ar1} = n_{Ar}RT_{Ar1}$$ и $$P_{Ar2}V_{Ar2} = n_{Ar}RT_{Ar2}$$
4. Отношение объёмов:
• Из равенства давлений в начальный момент ($$P_{He1} = P_{Ar1}$$, так как объёмы равны и поршень в равновесии) и равенства температур в конечном состоянии, а также исходя из того, что количества вещества газов ($$n_{He}$$ и $$n_{Ar}$$) остаются постоянными, мы можем записать: $$P_{He1} = P_{Ar1}$$ Так как $$P = rac{nRT}{V}$$, то $$rac{n_{He}RT_{He1}}{V_{He1}} = rac{n_{Ar}RT_{Ar1}}{V_{Ar1}}$$ Поскольку $$V_{He1} = V_{Ar1}$$, то $$n_{He}T_{He1} = n_{Ar}T_{Ar1}$$. В конечном состоянии $$P_{He2} = P_{Ar2}$$, следовательно: $$rac{n_{He}RT_{He2}}{V_{He2}} = rac{n_{Ar}RT_{Ar2}}{V_{Ar2}}$$ Так как $$T_{He2} = T_{Ar2}$$, то $$rac{n_{He}}{V_{He2}} = rac{n_{Ar}}{V_{Ar2}}$$. Выразим соотношение количеств вещества из начальных условий: $$n_{He} = n_{Ar} rac{T_{Ar1}}{T_{He1}} = n_{Ar} rac{900}{300} = 3n_{Ar}$$. Подставим это в конечное уравнение: $$rac{3n_{Ar}}{V_{He2}} = rac{n_{Ar}}{V_{Ar2}}$$ Отсюда получаем, что $$3V_{Ar2} = V_{He2}$$. Общий объём цилиндра $$V = V_{He1} + V_{Ar1} = 2V_{He1}$$. В конечном состоянии $$V = V_{He2} + V_{Ar2}$$. Из $$V_{He2} = 3V_{Ar2}$$ следует $$V = 3V_{Ar2} + V_{Ar2} = 4V_{Ar2}$$. Следовательно, $$V_{Ar2} = V/4$$. Тогда $$V_{He2} = 3V_{Ar2} = 3V/4$$. Так как $$V = 2V_{He1}$$, то $$V_{He2} = rac{3}{4} (2V_{He1}) = rac{3}{2}V_{He1}$$. Таким образом, объём, занимаемый гелием, изменится в $$rac{3}{2}$$ раза.

Финальный ответ:

Объём, занимаемый гелием, увеличится в 1.5 раза.